期末高数模拟9答案
一、 填空 1.解：
a?a?x1?x?0?x2a故a?1时x?0是连续点，a?1时x?0是间断点。 f(0)?limlim12cosx1?x?0?x?222．
y?1?y???021?y解：
1?y2y??y2
3．
解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0
解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限A＝8/3 4．
解：y??2?1?xln2?驻点故驻点为极小值点。 5．
xx??1x2ln2,y???2(2ln2?x(ln2))在驻点处y’’>0,
解：f?(x)?lnx?1,由f?(x0)?2知x0?e,于是有f(x0)?e. 6.解：
?limf?x??f?0?f?x??f?0?＝－1,由极限的保号性有?0,有f?x??f?0??022x?0xx即在x?0的某邻域内有f?x??f?0?,由极值定义知x?0是极大值点。
二、
解：当x>0及x<0时，，f(x)为初等函数，连续。
x?0?x?0?x1?x?1limf(x)?0?limf(x)?f(0)?f(x)在???,??连续。x?0?x?0?x?0?limf(x)?lim1?x?1?limx?0当x?0时，f?(x)?1?x?12x3/21?xxx,当x?0时，f?(x)?0?0?limx?0?1?x?1x?0?limf(x)?f(0)?limx?0?x1x(1?x?1)???1?x?1?x?0,?f(x)在x?0不可导， f?(x)??2x3/21?x?0x?0?
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三、解下列各题 1．x?02x?1?2x??1limx2
?4x??1?2x??2?2?4?1?2x?2x??2ln?1?2x??解：原式＝2．x??解：原式＝
1x?1xlimx?02x.
limx(3?321x?1x?2)；
1x?1x11?3?3?2ln33?3ln32lim?lim??limln3(3x?3x)??ln3?x??x??2112x??xx2
?x?t?2?sint设曲线方程为??y?t?cost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,3．
d2y及dx2x?2。
y??1?sint11y?t?0?切线方程：y?1??x?2?1?cost22sin0?cos0?11y??x?2???4?1?cos0?3
x?2时y?1,t?0y???sint?cost?1解：
四、 解：
?1?cost?3y??3x2?2ax?b,y??0??0?b?0,y(0)?1,c?1.y???6x?2a,y??(1)?6?2a?0,a??3.y?x3?3x2?1,y??3x2?6x?3x(x?2)y??0时，驻点： x1?0,x2?2,y???0??6?0.?极小值y(2)??3。
五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。
1x2x?L?x??x2?L2?2Lx22?LL?3x1?2x?s??L?2Lx???22?L?2Lx?2L2?2LxL令s??0?x?这是唯一驻点，且最大值存在，故3L2??L?s???为最大面积，此时x边与斜边夹角为3 解：设所?3?63s?六、
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lnx1?lnx则f?(x)??0(x?e)xx2ln(?)ln(?)?f(x)在(a,??)上单减，f(?)?f(?), 即 ???证：令f(x)??ln(?)??ln(?)?ln???ln????????.七、
?解：f(0)?sin(0)?0.f?(0)??sinx?x?0?cos0?1,?当x?0时f(x)与x是等价无穷小，2f?2/n??2? limnf???lim?2n??n??n2/n??
八、 证：
（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2>0
F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点?，使F（? ）=0,即f (?)=?.。 (2) 证：
令G(x)?e??xF(x),G(?)?0,G(0)?0????0,??使得G?????0.??e???F(?)?e???F?????0得出F????＝?F(?)即f?(?)?1???f??????于是f???????f???????1
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