东台市安丰中学2013—2014学年度第一学期
高三数学周末练习二
命题：周金强 审核：万元湘 使用时间：2013年9月14日 一、填空题（本大题有14小题，每题5分共70分。请把答案填写在答题纸．．．相应的位置上．．．．．．
.） 1．已知A?{x|18?2?x?12}，B?{x|log2(x?2)?1}，则A?B? ▲ ． 2．已知i是虚数单位，若a?3ii?b?i(a,b?R)，则ab的值为 ▲ ．
3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．
y2?8x的焦点与双曲线x24．若抛物线m?y2?1的右焦点重合，则双曲线的离心率为 ▲ ．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知OA=（3，﹣1），OB=（0，2）．若OC?AB?0，AC??OB，
则实数λ的值为 ▲ ．
6．运行如图语句，则输出的结果T＝ ▲ ．
7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是 T←1 （a，+∞），则实数a的值是 ▲ ． I←3 While I<50 8．函数f(x)=2sin(?4?x)，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为 ▲ ．
T←T +I I←I +2 9．在集合{x|x=n? End While 6,n?1,2,3,?,10}中任取一个元素，所取元素恰好满足 Print T 方程cosx=
1 2的概率是 ▲ ． 10．数列{an}中，a1?2，an?1?an?cn（c是常数，n?1，2，3，?）
，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列，则{an}的通项公式是 ▲ ．
11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d= ▲ ． 12．给出下列命题：
（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为 ▲ ．
?13．已知函数f（x）=?3x,x??0,1??9??2?32x,x??1,3?，当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围
是 ▲ ．
14．已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：（本大题有6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.）
15.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知(b2?c2?a2)tanA?3bc.
（1）求角A； D C F （2）若a=2，求△ABC面积S的最大值.
16．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE， BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥BE；
（2）求证：AE∥平面BFD．
17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d?kv2l?12l（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60(km/h)时，车距为2.66个车身长.
（1）写出车距d关于车速v的函数关系式;
y（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ A
18．给定圆P:x2?y2?2x及抛物线S:y2?4x,过圆心P作直线l, B此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A、B、C、D,
如果线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程. oP Cx
D19.已知以a为首项的数列?a?an?3,an?3,n?满足：an?1???2aa
n,n?3.（1）若0＜an≤6，求证：0＜an?1≤6;
（2）若a，k∈N*，求使an?k?an对任意正整数n都成立的k与a；
20．已知P?x,y?为函数y?1?lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k?f?x?．
（1）若函数f?x?在区间??1??m,m?3???m?0?上存在极值，求实数m的取值范围； （2）当 x?1时，不等式f?x??tx?1恒成立，求实数t的取值范围；
n（3）求证：
?ln[i?(i?1)]?n?2?n?N*?．
i?1东台市安丰中学2013—2014学年度第一学期
高三数学周末练习二
参考答案
一、填空题
1．{2}； 2．{x|1?x?4}； 3．0.032； 4．233； 5．2； 6．625； 7．1； 8．?????4,0???； 9．15； 10. an?n2?n?2； 11．7；
12．（1）、（3）、（4）； 13．? ??log7?33,1??； 14．（﹣3，0）
二、解答题
15. （本小题满分14分）
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知(b2?c2?a2)tanA?3bc.
（1）求角A；
（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值.
解：（1）由已知得b2?c2?a2sinA332bc?cosA?2?sinA2 ??4分 又在锐角△ABC中，所以A=60° ??7分 （2）因为a=2，A=60°所以b2?c2?bc?4,S?132bcsinA?4bc ??8分 而b2?c2?2bc?bc?4?2bc?bc?4 ??10分 又S?12bcsinA?34bc?34?4?3，所以△ABC面积S的最大值等于3。?14分
16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥BE；
（2）求证：AE∥平面BFD． 证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE．
∵AD∥BC，则BC⊥AE．?????3分
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE． D C ∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，
∴AE⊥BE． ????????? 7分
G （2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE．
F 而BC=BE，∴F是EC中点． ???????10分
A B 在△ACE中，FG∥AE，
∵AE?平面BFD，FG?平面BFD， ∴ AE∥平面BFD． ?????????14分
E 17.（本题满分14分） 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d?kv2l?12l（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60(km/h)时，车距为2.66个车身长. (1) 写出车距d关于车速v的函数关系式;
(2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
解：⑴因为当v?60时，d?2.66l，所以2.66l?1lk?2602l?2.16602?0.0006， ∴d=0.0024v2+2 . ????6分
⑵设每小时通过的车辆为Q，则Q?1000vd?4． 1000v1000即Q?0.0024v2?6?0.0024v?6
v∵0.0024v?6v≥20.0024v?6v?0.24，
∴Q≤10001250060.24?3，当且仅当0.0024v?v， 即v?50时，Q取最大值125003???13分
答：当v?50?km/h?时，大桥每小时通过的车辆最多．????14分
18．（本小题满分16分）给定圆P:x2?y2?2x及抛物线S:y2?4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A、B、C、D,如果线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.
解：圆P的方程为?x?1?2?y2?1BC?2y,则其直径长, 圆心为P?1,0?,设l的方程为ky?x?1,即x?ky?1, A代入抛物线方程得:y2?4ky?4,设A?x1,y1?, D?x2,y2?，
B有??y1?y2?4k,则?yy(y1?y2)2?(y1?y2)2?4y1y2?16(k2?1). 12??4oP2Cx故|AD|2?(y222y21?y22)?(x1?x2)?(y1?y2)?(D4)21?y ?(y)2[1?(y1?y2)21?y2]?16(k2?1)2,因此|AD|?4(k24?1). ? 8分
据等差，2BC?AB?CD?AD?BC,
所以AD?3BC?6，即4?k2?1??6,k??22，???14分 即：l方程为2x?y?2?0或2x?y?2?0. ???16分
19.(本小题满分16分)已知以a为首项的数列?a?an?3,an?3,n?满足：an?1???2a
n,an?3.(1)若0＜an≤6，求证：0＜an?1≤6;
(2)若a，k∈N*，求使an?k?an对任意正整数n都成立的k与a；
解：（1）当an?(0,3]时，则an?1?2an?(0,6]，当an?(3,6]时，则an?1?an?3?(0,3], 故an?1?(0,6]，所以当0?an?6时，总有0?an?1?6． ????8分
（2）①当a?1时，a2?2,a3?4,a4?1，故满足题意的k?3t,t?N*．同理可得，当a?2或4时，满足题意的k?3t,t?N*．当a?3或6时，满足题意的k?2t,t?N*． ????10分
②当a?5时，a2?2,a3?4,a4?1，故满足题意的k不存在． ????12分
③当a?7时，由（1）知，满足题意的k不存在． ????14分
综上得：当a?1，2，4时，满足题意的k?3t,t?N*； 当a?3，6时，满足题意的k?2t,t?N*．????16分
20．
（本小题满分16分）已知P?x,y?为函数y?1?lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k?f?x?．
（1）若函数f?x?在区间???m,m?1?3???m?0?上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）当 x?1时，不等式f?x??tx?1恒成立，求实数t的取值范围；
n（3）求证：
?ln[i?(i?1)]?n?2?n?N*?．
i?1解：（1）由题意k?f?x??1?lnxx，x?0,所以f??x????1?lnx??lnx?x????x2 ?????2分 当0?x?1时，f??x??0；当x?1时，f??x??0．
所以f?x?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减，故f?x?在x?1处取得极大值． 因为函数f?x?在区间??m,m?1??3??（其中m?0）上存在极值， ?所以?0?m?1?2??m?1，得?m?1．即实数m的取值范围是??2，1??． ?????4分 3?13?3?（2）由f?x??t?x?1??1?lnx?x?1得t?x，令g?x???x?1??1?lnx?x，
则g??x??x?lnxx2． ????????????????????6分 令h?x??x?lnx，则h??x??1?11?xx=x，
因为x?1,所以h??x??0,故h?x?在?1，+??上单调递增．????????8分 所以h?x??h?1??1?0,从而g??x??0,g?x?在?1，+??上单调递增, g?x??g?1??2 所以实数t的取值范围是???,2?． ????????????????10分
（3）由(2) 知f?x??2x?1恒成立,
即
1?lnxx?2x?1?lnx?x?1x?1?1?22x?1?1?x ????????12分 令x?n?n?1?,则ln[n?n?1?]?1?2n?n?1?，????????14分
所以ln?1?2??1?221?2， ln?2?3??1?2?3，??,lnn?n?1??1?2n?n?1?． n将以上n个式子相加得：?ln[i(i?1)]?n?2??1?2?12?3?????1?i?1?1n?n?1??
??n?2??1??1?n?1???n?2，
n故?ln[i(i?1)]?n?2?n?N*?． ?????????????16分
i?1
理科附加题
(满分40分 时间 30分钟)
21.【选做题】本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分， 共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
求证：DE2
=DB?DA．
B选修4﹣2：矩阵与变换 设曲线2x2
+2xy+y2
=1在矩阵M???m0??n1??(m?0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M?1．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线2?cos?+?sin?+a?0(a?0)被圆??4sin?截得的弦长为2， 求a的值. D．选修4-5：不等式选讲
已知x,y,z?R，且x?2y?3z?4，求x2+y2+z2的最小值． 22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AA1?6，AB?2，M,N分别是棱BB1，CC1上的点，且BM?4，CN?2.
（1）求异面直线AM与AC11所成角的余弦值； B M B（2）求二面角M?AN?A1 1的正弦值. C N C1 A A（第22题图）
1
23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间?的分布列及期望. 理科附加题答案
(满分40分 时间 30分钟)
21.【选做题】本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分， 共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A选修4—1：几何证明选讲
证明：连接OF． 因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°． 因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分） 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE． 因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB?DA．所以DE2 =DB?DA．（10分） B选修4﹣2：矩阵与变换 解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'）， 由，得 因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分） 依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1， 而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分） 故M???10?10??11??，故矩阵M的逆矩阵M?1=??．…（10分）??11? ? C．选修4-4：坐标系与参数方程 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x+y+a?0， ??????????3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2?4y，即x2+(y?2)2?4 ，????6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)到直线的距离为4?1?3， 即2+a5?3，因为a?0，所以a?15?2. ???????????????10分 D．选修4-5：不等式选讲
解：由柯西不等式，得[x+(?2)y+(?3)z]2≤[12+(?2)2+(?3)2](x2+y2+z2)，
即(x?2y?3z)2≤14(x2+y2+z2)， ????????????????????5分 即16≤14(x2+y2+z2).
所以x2+y2+z2≥8，即x2+y2+z287的最小值为7. ?????????????10分
22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 解：⑴以AC的中点为原点O，分别以OA,OB所在直线为x,z轴，建立空间直角坐标系O?xyz（如图）. 则O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(?1,0,0)，B(0,0,3)，N(?1,2,0)，M(0,4,3)，A1(1,6,0)，
C1(?1,6,0)所以????AM?.
?(?1,4,3)，????AC?11?(?2,0,0).
所以cos???????????????AM?,????A?AM?A1C121C1??????AM?????A???51C122010， 所以异面直线AM与AC511所成角的余弦值为10.????????????????5分 ⑵平面ANA1的一个法向量为m?(0,0,1).
设平面AMN?????的法向量为n?(x,y,z)，因为????AM??(?1,4,3)，???AN??(?2,2,0)，
由???n?????AM?,得???n?AN,??x+4y+3z?0,???2x+2y?0,令x?1，则n?(1,1,?3). 所以cos?m,n??m?n?mn?35??155， 所以二面角M?AN?A101的正弦值为
5. ?????????????????10分 23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这
名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为
P?A????1??1?14?1?3?????1?3???3?27.???????????4分 （2）由题意，可得?可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“??2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k?0，1，2，3，4），
k4?k∴P???2k??C4?k?1??2??3????3???k?0,1,2,3,4?，
∴即?的分布列是
? 0 2 4 6 8 P 163288181 81 27 81 81 ∴?的期望是 E??0?1681?2?32881881?4?27?6?81?8?81?3.???????????10分