专题1.1 初识极值点偏移
一、极值点偏移的含义
众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)关于直线x?m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
f(x)为单峰函数，则x?m必为f(x)的极值点. 如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，
若f(x)?c的两根的中点为也就是极值点没有偏移.
x1?x2x?x2?x0，即极值点在两根的正中间，，则刚好有122
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内x?m左侧的任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)或f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同. 故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2x1?x2与极值点m必有确定的大小关系： 2x?x2x?x2若m?1，则称为极值点左偏；若m?1，则称为极值点右偏.
22xx?x2如函数g(x)?x的极值点x0?1刚好在方程g(x)?c的两根中点1的左边，我们称
e2满足f(x1)?f(x2)，则之为极值点左偏.
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二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
2. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
x1?x2，求证：f'(x0)?0； 2x?x24. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，令x0?1，求证：
23. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，令x0?f'(x0)?0.
三、问题初现，形神合聚
★函数f(x)?x?2x?1?ae有两极值点x1,x2，且x1?x2. 证明：x1?x2?4.
2x 2
所以h(2?x)?h(2?x)，
所以h(x1)?h(x2)?h[2?(x2?2)]?h[2?(x2?2)]?h(4?x2)， 因为x1?2，4?x2?2，h(x)在(??,2)上单调递减 所以x1?4?x2，即x1?x2?4.
★已知函数f(x)?lnx的图象C1与函数g(x)?12ax?bx(a?0)的图象C2交于P,Q，2过PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M,N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.
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四、招式演练 ★过点
作曲线
的切线．
（1）求切线的方程； （2）若直线与曲线【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率
，再根据点斜式求切线方程
．
交于不同的两点
（2）见解析
，
，求证：
．
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