16.1 二次根式
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.
2、理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简. 【重点难点】 1、二次根式的性质.
2、能确定二次根式中字母的取值范围.
知识概览图
二次根式的有关概念
二次根式：一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式
代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式
①被开方数a非负，即a≥0 ②a本身非负，即a≥0
二次根式的双重非负性
二次根式二次根式的性质
2 (a)?a(a≥0)
2（）=a（a≥0） a二次根式的有关公式 ?a(a＞0)? a2?a??0(a?0) ??a(a＜0) ?(a)2?a2(a≥0)
新课导引
如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播
远，从而能收到电半径为r km，则它
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们之间存在近似关系式，r= 2Rh，其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，
则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?
【问题探究】 因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求2?6400?200的值，即求2560000的值．怎么求2560000的值呢?
【解析】因为16002＝2560000，所以2560000＝1600． 所以r ≈2?6400?200=1600(km) 教材精华
知识点1 二次根式的概念
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“ 拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“”读作“二次根号”．
”，虽然16=4，但是4是
”．如3，16等都有“二次根式16的计算结果，因此16，121，1.44，9等也都是二次根式. 4 (2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证a有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：a2，因为无论 a取什么实数，都有a2≥0，所以a2是二次根式．而?x2?1，?2x2?1都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，
但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“
”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母
的取值范围．
(3)“”的根指数为2，即“2”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当
做0．如32就不是二次根式，因为它的根指数是3．
(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分
285的形式，此时的有数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：2与5相乘，要写成33理数称为二次根式的系数.
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知识点2 确定二次根式中字母的取值范围
要使a有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如2x?1，只有当2x+1≥0，即x≥?13?x时，二次根式2x?1才有意义. 再如，对于式子2x?1?3?x?0,来说，只有当?即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.
?x?1?0,
拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.
知识点3 二次根式的性质 二次根式的双重非负性:
a≥0，a≥0，因为a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以
由算术平方根的定义可知a≥0，如3，3等都是非负数. 2（a)2=a（a≥0）. 由于a（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（a)2=a，例如：（3)2=3，（6)2=6，（1.5)2=1.5.
拓展 （1）（a)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.
（2）把（a)2=a（a≥0）逆用，写成a=（a)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（2)2，所以x2-2=x2-（2)2=（x+2）（x-2）.
（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如： （32)2=32×（2)2=9×2=18. （11316)2=（)2×（6)2=×6=等，则用到了积的乘方法则
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（ab)2=a2b2.
知识点4 由于
a2的化简 a2表示a2的算术平方根，所以a2的化简结果必须是个非负数. 而当a2有意义时a2
（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证a2的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即a2?a，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：(?5)2??5?5. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如(?5)2?52?5. 如果a2中a的符号
?a(a?0),?不确定，那么要讨论. 即a2=a??0(a?0),
?a(a?0).?
拓展 （a)2与a2的区别与联系，如下表所示： （a)2 a2 字母a 被开方数a的取值范围为a≥0，即a被开方数a2中的a可取一切实数，也就是的取值 是一个非负数，且（a)2=a. 例如：说，a既可以是正数，也可以是负数，还范围 不同 (2)?2，(0)?0，(?2)无意可以是零. 222?a(a?0),例如当a2=a????a(a?0).32?3?3，当a=-3时义 a=3时，(?3)2??3?3 意义 不同 （a)2=a（a≥0）表示a的算术平a2?a表示a的平方的算术平方根. 例方根的平方. 例如(5)2?5表示5的如：32?9?3 表示3的平方的算术平算术平方根的平方，结果等于5 方根，结果等于3 a2?a，其结果有两种形式，与a的取形式 不同 (a)2?a（a≥0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身 值有关，当a≥0时，a2?a，当a＜0第4页