课时跟踪检测(七十九) 不等式的证明
1．已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1，求证：x2＋y2＋z2≤3.
2．(2014·大连模拟)已知a>0，b>0，c>0，a＋b>c. 求证：
3．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
b2c2a2
4．已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥c
abc
5．已知f(x)＝1＋x2，a≠b，求证|f(a)－f(b)|<|a－b|.
111111
6．设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b
答 案
1．证明：x，y，z∈R，且x4＋y4＋z4＝1为定值，利用柯西不等式得到 (x2＋y2＋z2)2≤(12＋12＋12)[(x2)2＋(y2)2＋(z2)2]． 从而(x2＋y2＋z2)2≤3?x2＋y2＋z2≤3. x2y2z2
当且仅当＝＝时取“＝”号，
111又x4＋y4＋z4＝1，所以x2＝y2＝z2＝2．证明：∵a>0，b>0， ∴∴
aabb>，>. 1＋a1＋a＋b1＋b1＋a＋ba＋bab
＋>. 1＋a1＋b1＋a＋b
3
时取“＝”号． 3
b＋a a
c＋b b
a. c
abc＋>. 1＋a1＋b1＋c
x1
而函数f(x)＝＝1－
1＋x1＋x
在(0，＋∞)上递增，且a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)， 则
a＋bc
>，
1＋a＋b1＋c
abc所以＋>，
1＋a1＋b1＋c故原不等式成立．
3．证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2ab)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b.
．证明：∵a，b，c∈Rb2c2
4b2c2＋，∴a＋b≥2
·＝2c bab
a
，c2＋a2
同理，≥2aca2b2
abc
b，c＋a
≥2b c， b2三式相加可得bcaa＋c2a2
b＋c
≥ca
＋ab
＋bc. 5．证明：∵|f(a)－f(b)|＝|1＋a2－1＋b2|＝ |a2－b2|
|a－b||1＋a2＋1＋b2＝a＋b|1＋a2＋1＋b2.
又|a＋b|≤|a|＋|b|＝a2＋b2<1＋a2＋1＋b2. ∴
|a＋b|1＋a2＋1＋b2<1. ∵a≠b，∴|a－b|>0，∴|f(a)－f(b)|<|a－b|. 6．证明：∵a，b，c均为正实数，
∴1112??2a＋2b??≥12ab≥1
a＋b，当且仅当a＝b时等号成立； 12?1?2b＋12c??≥12bc≥1
b＋c
，当且仅当b＝c时等号成立； 12?1?2c＋12a??≥12ca≥1
c＋a
，当且仅当c＝a时等号成立； 三个不等式相加即得12a＋12b＋12c≥1b＋c＋11
c＋a＋a＋b，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
＋