一道课本例题探究性学习的教学设计及反思
摘 要：充分发挥教材的功能，引导学生开展探究性学习，是新课程的要求之一，也是发展学生探究能力的手段。本文就以此为本略做介绍。
关键词：探究性学习；教学设计；反思
本文以高中教材（必修第二册，上）第118页的例3：“斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于a、b，求线段ab的长.”的教学为例，谈谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习。
一、例题教学设计
1.分步推进，引导学生探究解法
出示例题并让学生认真阅读，然后画出草图。
师：请同学们认真分析题目中的条件和结论信息，讨论后拿出解题方案。求线段ab的长，你有哪些方法？
生1：两点间的距离公式。先写出直线ab的方程，再求出交点a、b的坐标，从而求出线段ab的长。
生2：利用圆锥曲线的弦长公式。利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，减少了运算量。
生3：利用过抛物线焦点的弦公式。过点a、b两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足为a′、b′，根据抛物线的定义，把线段af与bf转化为线段aa′和bb′求解。
师：把你们的想法所对应的图形画在黑板上。（之后老师用多媒体
补充演示）
（下面请三位同学板演三种解法。）
师生共同小结：对于过抛物线焦点的直线被抛物线所截得弦长的求法，解法一虽然思路清晰，易于理解，但运算量较大。解法二是常见的，并能推广到任意二次曲线。而解法三在抛物线中显得更为灵活而高效。所以应熟记并掌握抛物线的焦点弦长公式及运算。 2.学以致用，拓展延伸，探究焦点弦的内涵 （1）逆向变换
问题1.斜率为1的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与抛物线相交于a、b，线段ab的长为8，求p的值.
由于有了例3的解题体验，学生们不约而同地选择了思路3的解法，得p=2。
（2）条件不变，结论变换
问题2.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点f的直线与抛物线交于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点，求证：
①y1y2=-p2；②x1x2=；③以弦ab为直径的圆与准线相切. 生4：利用求焦点弦的解法二。先设出直线斜率为k，写出过焦点f的直线的方程y=k（x-），再将x=代入y=k（x-），构造一个以y1，y2为根的一元二次方程ky2-2py-kp2=0，从而由韦达定理得出y1y2=-p2。
师：这一证法无懈可击吗？请大家互相讨论，仔细推敲。 生5：当k不存在时，也要加以证明。
吃一堑，长一智。在（2）的证明中同学们注意了“陷阱”，顺利地得写出了证明过程。
经过讨论，学生利用方法三，对（3）给予了证明。此时，同学们个个好像是凯旋的勇士，积极性很高。 （3）恰当增加条件，变换结论
问题3.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点f的直线与抛物线交于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点，若点a、b在抛物线准线上的射影分别为a1、b1，求证：a1f⊥b1f. 师：要证明a1f⊥b1f，你们有哪些方法？
生6：利用斜率之积为-1进行证明。即：a1（-，y1），b1（-，y2） k1k2==-1，所以a1f⊥b1f。
生7：还可以利用解法三，af与bf转化为线段aa1和bb1，根据三角形的内角和定理可得∠a1fb1=90°。 （4）归纳小结
请同学们总结有关抛物线焦点弦的一些有用的结论。 二、反思
1.数学教学应将例题作为数学知识与方法生长的土壤
美国著名数学家波利亚指出：“一个专心认真备课的教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。”这说明了例题的数学价值是多么的重要！一个好的例题不仅强化基础知识的应用，而且展现着重要的数学思想方法，还隐含着重要知