(1) 人眼最小分辨角是多大？
(2) 在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2 mm，坐在距黑板10 m处的同学能否看清？
550?1?9043．解：(1) 最小分辨角 ?R?1.22?1.22rad?2.?2?41 0?3d3?10(2) 在距黑板10 m处能分辨的最小距离为 s?l?R?10?2.24?10?4?2.24mm?2mm,不能看清。
?4．一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，?1=440 nm，?2=660 nm (1 nm = 10-9 m)。
实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上。求此光栅的光栅常数d。 4．解：由光栅衍射主极大公式得dsin?1?k1?1,dsin?2?k2?2,
当两谱线重合时有:?1=??2 , 即
sin?1k1?1k1?4402k1 ???sin?2k2?2k2?6603k2k1369k6???,两谱线第二次重合1?，即k1=6，k2=4 k2246k24由光栅公式可知d sin60°=6?1, d?6?1-3
=3.05310 mm ?sin60-3
5．一衍射光栅，每厘米200条狭缝，每条狭缝宽为a=2310 cm，在光栅后放一焦距f=1 m的凸透镜，
-9
现以?=600 nm (1 nm=10 m)的单色平行光垂直照射光栅，求：(1) 单缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？(2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
5．解：(1) 由单缝衍射可知：asin??k??,x?ftan?
f?ax?0.03m ?k?,取k=1有 x?af∴中央明纹宽度为 ?x?2x?0.06m
(a?b)x(2)由光栅方程：(a?b)sin??k'?，得 k'??2.5
f?当x??f时，tan??sin???,
取k?= 2，共有k?= 0，±1，±2 等5个主极大
6．波长600nm的单色光垂直照射在光栅上，第二级主极大出现在sin??0.25处，且第三级缺级。试求：⑴ 光栅常数(a?b)；⑵ 光栅的狭缝宽度a；⑶? 按上述选定的a、b值，求在光屏上可能呈现的全部主极大的级次。
k?2?600?10?9??4.8?10?6m 6．解：(1) 由光栅方程(a?b)sin??k?可得光栅常数(a?b)?sin?0.25a?bk3a?b(2) 由于第三级缺级，所以 ?'?'， k'取1， a??1.6?10?6m;
akk3a?b4.8?10?6 ?
??8 (3) 由光栅方程(a?b)sin??k?可得明条纹的最高级次 kmax??9?600?10但由于第三和第六级缺级，所以光屏上可能呈现的全部主极大的级次为:
0,?1,?2,?4?5,?7,?8共17级。
练习 十八 知识点：X射线衍射、起偏和检偏、马吕斯定律、反射和折射时光的偏振、光的双折射 一、选择题
1?．波长为0.426 nm (1 nm = 10-9 m)的单色光，以70°角掠射到岩盐晶体表面上时，在反射方向出现第一级极大，则岩盐晶体的晶格常数为 ( ) (A) 0.039 nm； (B) 0.227 nm； (C) 0.584 nm； (D) 0.629 nm。解：(B) 2．自然光从空气连续射入介质A和B。光的入射角为60?时，得到的反射光RA和RB都是完全偏振光（振动方向垂直入射面），由此可知，介质A和B的折射率之比为 ( )
(A) 1:3； (B) 3:1； (C) 1:2； (D) 2:1。
31
解：(B)布儒斯特角入射时,反射光为线偏振光,且入射角与折射角之和等于900,即
n2,i0???900,根据题中数据得tg600?nA,tg300?nB/nA,nA/nB?3 n113． 一束光强为I0的自然光，相继通过三个偏振片P1、P2、P3后出射光强为I0。已知P1和P3的偏振
8化方向相互垂直。若以入射光线为轴旋转P2，要使出射光强为零，P2至少应转过的角度是 ( )
(A) 30?； (B) 45?； (C) 60?； (D) 90?。
解：(B)自然光通过偏振片后为线偏振光,光强为I0/2,线偏振光通过偏振片后的光强用马吕斯定律计算.即tgi0?I0IIIcos2?.I3?I2cos2??0cos2(900??)cos2??0sin22??0 22884． 两偏振片堆叠在一起，一束自然光垂直入射时没有光线通过。当其中一振偏片慢慢转动180?时透射光
I2?I1cos2??强度发生的变化为 ( )
(A) 光强单调增加； (B) 光强先增加，然后减小，再增加，再减小至零； (C) 光强先增加，后又减小至零； (D) 光强先增加，后减小，再增加。 解：(C)由马吕斯定律可得I2?I1cos2??I0??cos2?,?从变化到?? 2225． 一束光强为I0的自然光垂直穿过两个偏振片，且两偏振片的振偏化方向成45?角，若不考虑偏振片的反射和吸收，则穿过两个偏振片后的光强I为 ( )
II2211I0； (B) I0； (C) I0； (D) I0。解：(B)I2?I1cos2??0cos2450?0 4224426．一束自然光自空气射向一块平板玻璃（如图所示）,入射角等于布儒斯特角i0,则在界面2的反射光( )
(A)
(A) 光强为零；
(B) 是完全偏振光，且光矢量的振动方向垂直于入射面； (C) 是完全偏振光，且光矢量的振动方向平行于入射面； (D) 是部分偏振光。
解：(B)tgi0?tg60?n, ?i0???90,?tg??tg(90?i0)?ctgi0?1/tgi0?1/n
?玻璃两侧为空气,界面2与界面1的布儒斯特角互为余角.
7． 自然光以60?的入射角照射到某一透明介质表面时，反射光为线偏振光，则 ( )
(A) 折射光为线偏振光，折射角为30?； (B) 折射光为部分偏振光，折射角为30?； (C) 折射光为线偏振光，折射角不能确定； (D) 折射光为部分偏振光，折射角不能确定。
0解：(B)反射光为线偏振光,入射角为布儒斯特角,有i0???90,所以??300
8?． ABCD为一块方解石的一个截面，AB为垂直于纸面的晶体平面与纸面的交线．光 D A 轴方向在纸面内且与AB成一锐角?，如图所示。一束平行的单色自然光垂直于AB端面
光 入射。在方解石内折射光分解为o光和e光，o光和e光的 ( ) ?? 轴 (A) 传播方向相同，电场强度的振动方向互相垂直； (B) 传播方向相同，电场强度的振动方向不互相垂直； (C) 传播方向不同，电场强度的振动方向互相垂直；
C (D) 传播方向不同，电场强度的振动方向不互相垂直。解：(C) B 二、填空题
1?．以一束待测伦琴射线射到晶面间距为0.282 nm (1 nm = 10-9 m)的晶面族上，测得与第一级主极大的反射光相应的掠射角为17?30?，则待测伦琴射线的波长为_________。解：0.170nm
2．检验自然光、线偏振光和部分偏振光时，使被检验光入射到偏振片上，然后旋转偏振片。若从振偏片射出的光线____________________，则入射光为自然光；若射出的光线____________________，则入射光为部分偏振光；若射出的光线_________________，则入射光为完全偏振光。 解：亮度不变; 亮度改变,但不能消光; 亮度改变,且存在消光位置. 3?． 今有电气石偏振片，它完全吸收平行于长链方向振动的光，但对于垂直于长链方向振动的光吸收20%。当光强为I0的自然光通过该振偏片后，出射光强为___________，再通过一电气石偏振片（作为检偏器）后，光强在__________与__________之间变化。上述两片电气石，若长链之间夹角为60?，则通过检偏后光强为_____________。解：0.4I0,0, 0.32I0, 0.08I0 4?． 在以下五个图中，左边四个图表示线偏振光入射于两种介质分界面上，最右边的一个图表示入射光是自然光。n1、n2为两种介质的折射率，图中入射角i0?arctan(n2/n1)，i?i0。试在图上画出实际存在
32
000i012的折射光线和反射光线，并用点或短线把振动方向表示出来。 i i i0 i0 i0 n1 n1 n1 n1 n1 nn2 n2 n2 2 n2
5． 一束平行的自然光，以60?角入射到平玻璃表面上，若反射光是完全偏振的，则折射光束的折射角为_________；玻璃的折射率为__________。
解：反射光为线偏振光,入射角为布儒斯特角,有i0???900,所以??300,n?tg600?36?． 当光线沿光轴方向入射到双折射晶体上时，不发生___________现象，沿光轴方向寻常光和非寻常光的折射率__________；传播速度___________。解：双折射,相等,相同 ?
7． 线偏振的平行光，在真空中波长为589nm，垂直入射到方解石晶体上，晶体的光轴和表面平行，如图所示。已知方解石晶体对此单色光的折射率为no?1.658，
oene?1.486，在晶体中的寻常光的波长?o?_____________，非寻常光的波长
?e?____________。解：355nm;396nm
方解三、计算题
1．自然光通过两个偏振化方向成60?角的偏振片后，透射光的强度为I1。若在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30?角，则透射光强为多少？ 1．解：设入射自然光的强度为I0，所求透射光的强度为I2，由题意可知
119I0cos260??I1, I0cos230?cos230??I2, 联立两式可得 I2?I1 2242． 自然光和线偏振光的混合光束通过一偏振片。随着偏振片以光的传播方向为轴转动，透射光的强度也
跟着改变，最强和最弱的光强之比为6:1，那么入射光中自然光和线偏振光光强之比为多大？
2．解：设入射自然光和线偏振光的强度分别为I0和I，因为随着偏振片的转动自然光的出射光强不变，而线偏振光的光强在0到I之间变化，则由题意可知:,
1/2I0?II2?6,即 0?
1/2I0I53． 水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50。当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由
玻璃射向水而反射时，起偏振角又为多少？
3．解：由布儒斯特定律可知,当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为:iB?arctan 当光由玻璃射向水而反射时，起偏振角为:iB?arctan1.50?48.44? 1.331.33?41.56? 1.504?． 如图所示，一块折射率n?1.50的平面玻璃浸在水中，已知一束光入射到水面时反射光是完全偏振光。若要使玻璃表面的反射光也是完全偏振光，则玻璃表面与水平面的夹角?应为多大？ 4．解：设光线由空气入射到水面时的入射角为i，折射角为r，由水中入射到玻璃表面时的入射角为iB，则由布儒斯特定律及题意可得：
1.50?48.44? 1.33sinii?nsinr 可得 r?arcsin(?)3?6.由折射定律 sin 94n???0iB?(?9r0?)]? 1由几何关系可得 ??90?[18?i?arctan1.33?53.06?, iB?arctann?5?． 用方解石切割成一个60?的正三角棱镜，光轴垂直于棱镜的正三角截面。设自然光的入射角为i，而e光在棱镜内的折射线与镜底边平行，如图所示。已知ne?1.49，no?1.66。求 （1）入射角i；（2）o光在方解石中的折射角，并在图中画出o光的光路。 ?5．解：设e光的折射角为re，o光的折射角为ro，由题意知re?30
60?i?nesireni?nosiron 由折射定律 sin sinn得 i?arcsine( ro?arcsin(
iersnei?)sini?)noarcsi?n0.7?4 50.745?arcsin? 26.671.6633
练习 十九 知识点：理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能 一、选择题
1． 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T，分子质量为m，则分子速度在x方向的分量平均值为 （根据理想气体分子模型和统计假设讨论） ( )
（A）?x?18kT； （B）?x?3πm8kT3kT； （C）?x?； （D）?x?0。
2m3πm解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方
向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.
2． 若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 （ ）
（A）pV/m； （B）pV/(kT)； （C）pV/(RT)； （D）pV/(mT)。 解: (B)理想气体状态方程pV?MRT?NmRT?NRT?NkT
MmolNAmNA3．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于 （ ）
（A）气体的体积； （B）气体的压强；
（C）气体分子的平均动量；（D）气体分子的平均平动动能。
13解: (D)?k?mv2?kT (分子的质量为m)
224．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 （ ）
（A）氧气的温度比氢气的高； （B）氢气的温度比氧气的高； （C）两种气体的温度相同； （D）两种气体的压强相同。 解:(A) ?k?mO2TO2123,(分子的质量为m) ?mv?kTmH2TH2225．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的2倍，那么 （ ）
（A）温度和压强都升高为原来的2倍；
（B）温度升高为原来的2倍，压强升高为原来的4倍； （C）温度升高为原来的4倍，压强升高为原来的2倍； （D）温度与压强都升高为原来的4倍。 解:(D)根据公式p?1nmv2,p?nkT即可判断. (分子的质量为m) 36．一定量某理想气体按pV2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 （ ） （A）将升高； （B）将降低； （C）不变； （D）升高还是降低，不能确定。 解:(B) pV2＝恒量, pV/T＝恒量,两式相除得VT＝恒量 二、填空题 1．质量为M，摩尔质量为Mmol，分子数密度为n的理想气体，处于平衡态时，状态方程为_______________，状态方程的另一形式为_____________，其中k称为____________常数。 解: pV?MRT; p?nkT;玻耳兹曼常数
Mmol2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。（填“相同”或“不同”）。 解: 平均平动动能?k?123mv?kT,p?nkT?相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m) 223．理想气体的微观模型：
（1）___________________________________；（2）____________________________________； （3）____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。
解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。
34
4．氢分子的质量为3.3?10g，如果每秒有10个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角方向以10cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上（碰撞是完全弹性的），则由这些氢气分子产生的压强为_________________。
?24235
2Nmvcos?2?1023s?1?3.3?10?27kg?103ms?1?0.70732解: (分子的质量为m) ??2.33?10N/m?42S2?10m5．宏观量温度T与气体分子的平均平动动能?k的关系为?k=___，因此，气体的温度是_______的量度。 解:?k??
3kT, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 26．储有氢气的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s，容器中气体分子的平均动能增加了__________J。 解:
1MiiR?T5?8.31?0.7Mv2?R?T,v???120.6m/s ?32Mmol2Mmol2?10分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加
i5k?T??1.38?10?23?0.7?2.42?10?23J 22三、计算题
1．有一水银气压计，当水银柱高度为0.76m时，管顶离水银柱液面为0.12m。管的截面积为2.0?10?4m2。当有少量氦气混入水银管内顶部，水银柱高度下降为0.60m。此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶？（氦气的摩尔质量为0.004kg/mol，0.76m水银柱压强为1.013?105Pa）
解：设管顶部氦气压强为p,p?0.16mHg?0.16?1.013?105?2.13?104pa
0.76 V?0.28?2.0?10?4?5.6?10?5m3 由理想气体状态方程pV?MRT可得, MmolpVMmol2.13?104?5.6?10?5?0.004??1.91?10?6(kg) M?RT8.31?(27?273)2．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为?k= 6.21310
?21
J。求：
(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；
23?1?23?1
(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量NA＝6.022310 mol，玻尔兹曼常量k＝1.38310 J2K) 解：(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同
?k?kT?mv2?6.21?10?21J,(分子的质量为m)
3212v?22?k?m2?kNA?Mmol2?6.21?10?21?6.022?1023?484m/s
32.0?10?32?k2?6.21?10?21(2) 氧气的温度 T???300K ?233k3?1.38?103．（1）有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半，求气体压强变为原来的几倍？（2）这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍？分子的方均根速率变为原来的几倍？
解：(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知
MVM??RT,p??RT?,p?2T?2(273?177)?3,p??3p Mmol2MmolpT3003?k?T?273?1733????kT???1.5 (2) 根据分子平均平动动能公式可知 ?k?kT,k,
?kT273?2722pV?根据方均根速率公式v2?3RT3RT?,v?2?,v?2/v2?T?/T?3/2?1.225 MmolMmol4． 水蒸气分解为同温度T的氢气和氧气H2O →H2＋
11O2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和摩22尔氧气。当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。
35