第四章总练习题
1.设y=f(x)在[x0-h,x0+h](h>0)内可导.证明存在?,0
4.在闭区间[?1,1]上Cauchy中值定理对于函数f(x)?x与g(x)?x是否成立?并说明理由.解由于g?(x)?3x有零点0?(?1,1),Cauchy中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若f(1)?f(?1)g(1)?g(?1)?0?f?(c)g?(c),f?(c)?2c?0，c?0,但g?(0)?0,f?(c)g?(c)无意义.2235.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有二阶导数,且f??(x)?0,x?(a,b)又f(a)?f(b)?0,证明当x?(a,b)时f(x)?0.证一若存在c?(a,b),f(c)?0,则由Rolle定理,存在c1?(a,c),c2?(c,b)使得f?(c1)?f?(c2)?0.对于f?(x)在[c1,c2]应用定理,存在??(c1,c2),使得f??(?)?0,此与条件f??(x)?0,x?(a,b)矛盾.证二由假设,f??(x)?0,x?(a,b),根据Darboux定理,f??(x)恒正或恒负.不妨设f??(x)恒正,于是f下凸,曲线严格在连结(a,f(a))?(a,0)(b,f(b))?(b,0)的弦下方,故f(x)?0,x?(a,b).6.设f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)?f(b)?0,又存在c?(a,b)使f(c)?0.证明:在(a,b)内至少存在一点x0使f??(x0)?0.证一由公式,存在c1?(a,c),满足f?(c1)?存在c2?(c,b),满足f?(c2)?f(b)?f(c)b?c?f(c)?f(a)c?a?f(c)c?a?0.?f(c)c?a?0,对于f?(x)在[c1,c2]应用Lagrange公式,存在x0?(c1,c2),使得f??(x0)?f?(c2)?f?(c1)c2?c1?0.证二若不然,f??(x)?0,x?(a,b),f在[a,b]下凸,曲线在连结(a,f(a))?(a,0)(b,f(b))?(b,0)的弦下方,故f(x)?0,x?(a,b).7.证明方程a0x?a1xnn?1?a2xn?2???an?a0n?1?a1n?a2n-1???an?12?an1在0与1之间有一个根.证考虑函数f(x)?a0xn?1n?1?a1xnn?a2xn?1n?1???anxaa?aa?a0???1?2???n?1?n?x,1nn-121??n?1
aa?aa?a0nn?1n?2f?(x)?a0x?a1x?a2x???an???1?2???n?1?n?nn-121??n?1f(0)?f(1)?0.由Rolle定理,存在c?(0,1),f?(c)?0,即c是a0x?a1xnn?1?a2xn?2???an?a0n?1?a1n?a2n-1???an?12?an1在0与1之间的一个根.8.设函数f(x)在有限区间(a,b)内可导,但无界,证明f?(x)在(a,b)内也无界.逆命题是否成立?试举例说明.证若不然,设f?(x)在(a,b)内有界M,取定x0?(a,b),则对于任意 x?(a,b),根据 Lagrange 公式,f(x)?f(x0)?f?(c)(x?x0),|f(x)|?|f(x0)?f?(c)(x?x0)|?|f(x0)|?|f?(c)||(x?x0)|?|f(x0)|?|M|(b?a).逆命题不成立.例如x在(0,1)内有界,0?x?1,但是?x?21x(n?1)
在(0,1)内无界.9.若函数f(x)在区间[a,b]上有n个根(一个k重根算作k个根),且存在f证明f(n?1)(x),k(x)在[a,b]至少有一个根.(注意:若f(x)可以表示成f(x)?(x?x0)g(x)且g(x0)?0,则称x0为f(x)的k重根).证我们对于n作归纳法证明.函数f(x)在区间[a,b]上有2个根.如果x0是2重根,则22f(x)?(x?x0)g(x)且g(x0)?0,则f?(x)?2(x?x0)g(x)?(x?x0)g?(x),f?(x)有根x0.如果f(x)在区间[a,b]上有2个不同的根x1,x2,x1?x2,在[x1,x2]应用Rolle定理,存在x0?(x1,x2),使得f?(x0)?0.设结论对于n个根的情况成立.现在假定f(x)在区间[a,b]上有n?1个根.如果f有n?1重根重根x0,则f(x)?(x?x0)n?1g(x)且g(x0)?0,则nn?1nf?(x)?(n?1)(x?x0)g(x)?(x?x0)g?(x)?(x?x0)((n?1)g(x)?(x?x0)g(x)),(n?1)g(x)?(x?x0)g(x)?g1(x),g1(x0)?(n?1)g(x0)?0,f?(x)有n重根x0.如果如果f有n?1个单重根x1,?xn?1,在区间[x1,x2],?,[xn,xn?1]上应用Rolle定理,存在c1?(x1,x2),?,cn?(xn,xn?1])使得f?(c1)???f?(cn)?0,f?(x)至少有n个根.k如果f有不同的根x1,?,xk,重数分别为n1,?,nk,n?1?k?1,?ni?n?1.在[x1,x2],i?1?,[xk?1,xk]上应用Rolle定理,存在c1?(x1,x2),?,ck?1?(xk-1,xk)使得k
f?(c1)???f?(ck?1)?0.f?(x)至少有根k?1?(n)(f?(x))?f(n?1)?(ni?1i?1)?n个.对f?(x)用归纳假设,(x)至少有一个根.10.证明:Lerendre多项式Pn(x)?证f(x)=12n!n2n1ndnn2n!dx[(x?1)]在(?1,1)内有n个根.2n(x?1)],f(1)?f(?1)?0,对于f在[?1.1]应用Rolle定理，存在111c1?(?1,1),使得f?(c1)?0.f?(?1)?f?(1)?0(当n?1时),对于f?在（?1，c1)(c1,1)应用Rolle定理，存在212122(n-1)c1?（?1，c1),c2?（c1,1)使得f?(c1)?f?(c2)?0.如此下去，f(x)在1
n?1(?1,1)有零点c1n?1n?1,?,cn?1，fn?1(n-1)(?1)?f(n-1)(1)?0，在（-1,c1）,(c1(n)n?1n?1,c2),?,(cn?1,1)应用Rolle定理, 得到x1,x2,?,xn?(?1,1)使得f(x)?Pn(x)?0.Pn(x)是n次多项式，至多有n个零点，故Pn(x)恰有n个零点.11.设函数f在(??,??)内可导,且limf(x)?limf(x).证明:必存在一点x???x???c?(??,??),使得f?(c)?0.证若f(x)?limf(x)?limf(x)?A.x?(??,??),取任意一点c?(??,??),都有x???x???f?(c)?0.设存在f(x0)?A,不妨设f(x0)?A.根据极限不等式,存在a,b,满足:a?b,x0?(a,b),f(a)?f(x0),f(b)?f(x0).f在[a,b]连续,必在一点c?[a,b]取最大值. f(c)?f(x0)?f(a),f(c)?f(x0)?f(b), 故x0?(a,b),x0为极大值点,根据Fermat引理,f?(c)?0. 12.设函数f(x)在无穷区间(x0,+?)可导,且limf?(x)?0,证明limx???x???f(x)x?0.x???证由于limf?(x)?0,根据极限定义,存在正数x1?x0,使得x>x1时|f?(x)|
?当x?X时,必有f(x)?2?,故limx???f(x)x13.设函数f(x)在无穷区间[a,??)内连续,且当x>a时f?(x)?l?0,f(a)?其中l为常数.证明:若f(a)?0,则在区间?a,a?l?f(x)?0有唯一实根.证f(a)?0,f(a)???f(a)??f(a)??a??f(a)?f(c)??f(a)?l????????0,l?l?l????f(a)??f在a,a?连续,由连续怀念书函数的中间值定理,??l??f(a)?在区间?a,a?l???内方程f(x)?0至少有一实根.若有两个实根,根据???有一零点,这与条件f?(x)?l?0矛盾.?x????内方程?f(a)?Rolle定理,f?(x)将在?a,a?l?14.设函数f(x)在(??,??)上可导，且limf?(x)?0.现令g(x)?f(x?1)?f(x),证明limg(x)?0.x??
x??x??证limg(x)?lim(f(x?1)?f(x))?limf?(x??)(0???1)?0.x??
15.称函数f(x)在[a,b]满足Lipschiz条件,若存在常数L?0,使对于任意x1,x2?[a,b],都有|f(x1)?f(x2)|?L|x1?x2|.(1)若f?(x)在[a,b]连续,则f(x)在[a,b]满足Lipschiz条件(2)(1)中所述事实的逆命题是否成立?(3)举一个在[a,b]上连续但不满足Lipschiz条件的函数.解(1)f?(x)在[a,b]连续,存在常数L?0,使得|f?(x)|?L.x?[a,b].根据中值公式,对于任意x1,x2?[a,b],x1?x2,存在c?[x1,x2],使得|f(x1)?f(x2)|?|f?(c)(x1?x2)|?|f?(c)|(x2?x1)?L(x2?x1).(2)否.f(x)在[a,b]满足Lipschiz条件,未必处处可导,更谈不到f?(x)在[a,b]连续.例如,f(x)?|x|在 [?1,1]满足Lipschiz条件,但在0不可导.(3)f(x)?f?(x)?21xx在[0,1]连续,但不满足Lipschiz条件,因其导函数在(0,1]无界.16.设F(x)在[a,b]可导,且其导函数F?(x)?f(x)在[a,b]上可积,证明?baf(x)dx?F(b)?F(a).nnii?1证F(b)?F(a)?n?(F(x)?F(xi?1))??i?1F?(?i)(xi?xi?1)?i?1f(?i)(xi?xi?1)??baf(x)dx(?(?)?0).{xi}为[a,b]的分割.17.设多项式P(x)?a与P(x)?b的全部根都是单实根,证明对于任意实数c?(a,b),多项式P(x)?c的根也全都是单实根.证不妨设a=0,b>0,c?(0,b),P(x)是n次多项式,且首项系数为正.P(x)有单实根x1???xn,则这些根把实轴分为n?1个区间,每个区间保持固定正负号,且正负相间.否则某个根将为极值点,导数为零,此与单实根矛盾.在两个无穷区间保持正号,且严格单调递增或递减,在每个有穷区间有一个最值点,且在其两侧分别递增和递减,设n?2k为偶数,?.必有则limP(x)=+?.设b?0且P(x)?b有n个单实根x1????xnx???,x3??(x2,x3),?,x2?k?2,x2?k?1?(x2k?2,x2k?1),x2?k?(x2k,??),P(xi?)?b.x1??x1,x2?),根据连续函数的中间值定理,对于c?(0,b),存在c1?(??,x1),c2?(x2,x2?,x3),c2k?2?(x2k?2,x2?k?2),c2k?1?(x2?k?1,x2k?1??),c2k?(x2k,??),c3?(x3使得P(ci)?c.P为n次多项式,ci是P(x)=c的所有单实根.