3．2.2 复数代数形式的乘除运算
预习课本P58～60，思考并完成下列问题
(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？
(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？
[新知初探] 1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 结合律 分配律 3.共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 (1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d. (2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a＋bi)÷(c＋di)＝
z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 a＋biac＋bdbc－ad＝＋i(c＋di≠0)． c＋dic2＋d2c2＋d2
[点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
[小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z1，z2∈C，且z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A．1＋2i C．－1＋2i 答案：A
3．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( ) A．4＋2i C．2＋2i 答案：A
i＋i＋i
4．复数＝________.
1－i11答案：－i
22
复数代数形式的乘法运算
[典例] (1)已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( ) A．2 1C．－
2
1B. 2D．－2
2
3
4
2
2
B．1－2i D．－1－2i
B．2＋i D．3＋4i
(2)(江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________． [解析] (1)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.
(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i＝5＋5i， 所以z的实部是5. [答案] (1)A (2)5
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
2
(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i换成－1.
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式
(1)(a＋bi)＝a－b＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a＋b(a，b∈R)． (3)(1±i)＝±2i. [活学活用]
1．已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)A．2 C．－4
B．－2i D．2i
x＋yx＋y2
2
2
2
2
2
2
的值为( )
解析：选D 由xi－y＝－1＋i得x＝1，y＝1，所以(1＋i)＝(1＋i)＝2i.
2
2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，所以a－1＝0，a＋1＝b，即a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
复数代数形式的除法运算
[典例] (1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i C．－3＋5i
B．3－5i D．－3－5i
1＋ai
(2)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
2－iA．2 1C．－
2
[解析] (1)∵z(2－i)＝11＋7i，
11＋7i(11＋7i)(2＋i)15＋25i∴z＝＝＝＝3＋5i.
2－i(2－i)(2＋i)5
1＋ai(1＋ai)(2＋i)2－a1＋2a1＋ai2－a1＋2a(2)＝＝＋i，由是纯虚数，则＝0，≠0，
2－i(2－i)(2＋i)552－i55所以a＝2.
[答案] (1)A (2)A
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
B．－2 1
D. 2
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式
11＋i1－i(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i. i1－i1＋i[活学活用]
1－2i1．(天津高考)i是虚数单位，计算的结果为________．
2＋i1－2i(1－2i)(2－i)(2－2)－i－4i解析：＝＝＝－i.
2＋i(2＋i)(2－i)5答案：－i
(1＋i)(4＋3i)
2．计算：＝________.
(2－i)(1－i)
(1＋i)(4＋3i)1＋7i(1＋7i)(1＋3i)
解析：法一：＝＝ (2－i)(1－i)1－3i10＝－2＋i.
(1＋i)(4＋3i)?1＋i??4＋3i?法二：＝????
(2－i)(1－i)?1－i??2－i?＝＝
i(4＋3i)(2＋i)(－3＋4i)(2＋i)
＝ 55－10＋5i
＝－2＋i. 5
答案：－2＋i
i的乘方的周期性及应用
[典例] (1)(湖北高考)i为虚数单位，i的共轭复数为( ) A．i C．1
(2)计算i＋i＋i＋?＋i[解析] (1)因为i＝i
607
1
2
3
2 016
607
B．－i D．－1
＝________.
＝i＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.
21 008
3
4×151＋3
i(1－i)i[1－(i)
(2)法一：原式＝＝
1－i1－i法二：∵i＋i＋i＋i＝0， ∴i＋i
1
1
2
3
4
2 016
]i(1－1)
＝＝0.
1－i
nn＋1
＋i
3
n＋2
＋i
n＋3
＝0(n∈N)， ，
∴i＋i＋i＋?＋i
22 016