第三节 三角恒等变换
题型54 化简求值
1.（2013浙江理6）已知??R,sin??2cos??102，则tan2??
A.
4 B.
3 C.
?3 D.
?4
34432. (2013重庆理9）
4cos50?tan40?（ ）.
A.
2?32 B.
2 C.
3 D.
22?1
3．（2013四川理13）设sin2???sin?，???π?,π??2?，则tan2?的值是____________． ?4. (2013全国新课标卷理15） 设?为第二象限的角，若tan?π?????4??1，?2si?n?c?o?s . 5．(2013湖南理17）已知函数f(x)?sin?π??π??x?2?6??cos??x??3?，?g(x)?2sinx. 2（1）若?是第一象限角，且f(?)?335.求g(?)的值；
（2）求使
f(x)…g(x)成立的x的取值集合.
6.（2013辽宁理17）设向量a??3sinx，sinx?，b??cosx，sinx?，x??π??0，. ?2??（1）若a?b，求x的值；
（2）设函数f?x??a?b，求f?x?的最大值. 7. （2013江苏15）已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，0?????π.
（1）若|a?b|?2，求证：a?b；
（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?,?的值.
1
则
8．（2013广东理16）已知函数f(x)???π??的值； 6?35π??2cos?x??，x?R．
12??(1) 求f?? (2) 若cos??，???π???,2π?，求f?2???．
3??2???3π??9.（2014 新课标1理8）设???0, A. 3? C. 2?????2?21?sin??????tan????0,，，且，则（ ）. ???2?2?cos???2?2 B. 3? D. 2????
??????π210.（2014 陕西理 13） 设0tan??_______.
????,co?s?b,?，向量a??sin2?c?os?，,1若a//b，则
11.（2014 安徽理 16）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b?3，c?1，A?2B.
（1）求a的值；
???sinA?（2）求??的值.
4????π??5π?3,x?Rf，且????. 4??12?212.（2014 广东理 16）（12分）已知函数f?x??Asin?x?（1）求A的值； （2）若
f????f?????32，???0,????π??3π?f??，求???.
2?4??5513.（2014 江苏理 15）已知?????????的值； ?4??,??，sin???2?．
（1）求sin?????cos?2?（2）求??的值．
6??
2
14.（2014 江西理 16）已知函数f?x??sin?x????acos?x?2??，其中a?R，??????π2,π??. 2?（1）当a?2，???4时，求f?x?在区间?0,??上的最大值与最小值；
（2）若f??????0，f????1，求a,?的值. ?2??215.（2014 辽宁理 17）在△ABC中，内角A,B,C的对边a,b,c，且a?c.已知BA?BCcosB?13，
，b?3.求：
（1）a和c的值； （2）cos?B?C?的值.
16.（2014 陕西理 16）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. （1）若a,b,c成等差数列，求证：sinA?sinC?2sin?A?C?； （2）若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值.
??π??. 4?17.（2014 四川理 16）已知函数f?x??sin?3x?（1）求f?x?的单调递增区间； （2）若?是第二象限角，f?π????4??cos?????cos2?，求cos??sin?的值.
4??3?5?3π??cos????π10??，则
518.（2015重庆）若tan??2tanπ??sin????5???（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18.解析 根据诱导公式sin?????3?10???3?????cos??????sin2?10?????????，
5?? 3
???sin????5?????sin????5??sin?cos??cos?sin?5?5?cos?sin?sin?cos?5?5?5??tan?5?5?3?5所以原式 ??，
分子分母同时除以cos?cos?5tan??tan2tan?5?tan得出原式??tan?5．
?tan??2tan故选C．
k?k?k???,sin?cos19.（2015江苏）设向量ak??cos?666??11?k?0,1,2,…,12?，则??ak?ak+1?的值
k?0为 ．
19.解析 解法一（强制法）：由题意得a0??cos0,sin0?cos0???1,1?，
?3a1??,?2?13?1??，a2??,2??2?13?1??，a3??0,1?，a4???,2??23?1??， 2??3?a5???,2??3?1?3?,?，a6???1,?1?，a7???22???1???,?2?33?1?,?，a11??2??2?1?3?1?3?1??，a8???,?， 222???a9??0,?1?，a10113?1??，a12??1,1?. 2???ak?0k?ak+1??3???2?3?123?12??3?1??13?????222??3?1??3????2??23?1?????2???3?12?3?1?????2??3?1?????2??3?1?? 2??13????2?2?13????2?2?13?????2?23?1??3????2??23?1?? 2?3?1?? 2??3?1?????2??3?123?1??3????2??23?1?? 2??93（恰当整理化简即可）.
解法二（部分规律法）：由题意ak?6??cos??
??k???k???k??????,sin?????cos????? ?6??6??6??4
k?k?k??????cos,sin?cos???ak，
666??从而ak?6ak?7?akak?1，即akak?1的结果呈现以T?6为周期的变化，
11故??ak?ak+1??2??a0a1+a1a2?a2a3?a3a4+a4a5+a5a6??93.
k?0解法三（通用规律法）：由题意得：
?k?1??k?k?k????ak?ak?1??cos,sin?coscos,sin??666??6??cosk?6cos?k?1??6?cos?k?1????6?
?k?1??6k?k??????sin?cos??sin66????k?1??6?cos?k?1????6?
?cosk?6cos?k?1??6??k?1??k?k???coscos?sinsin666??k?1????6?
?sink?6k?6cos?k?1??6?cosk?6sin?k?1??6
?coscos?k?1??6??k?1???k?1??k??k?k??cos???sincos?cossin?66666???k?1??6
?cos?k?1??k??cos?sin?6?6?k?1????k?1??k???sincos?cos?6666?
k??3k?1k?3k?1k??coscos?sin?sin?cos?6?26262626?sink??3k?1k??3cos?sin? ??6?2626?21?k?k??13?12k?3??sincos???cos??2?662262??sink??3?132k???1?cos?? ?32622???? ?????3?2k??1?cos? ??6?2??23?14 5