2011年石景山区高三统一测试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A D A C B C
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
题号 9 10 4 11 12 4 13 ① ④ 14 5?n5， 2 ? 答案 3(x?1)2?(y?2)2?25相交 注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤． 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵ A、B、C为三角形的内角， ∴ A?B?C??．
A?B7?cos2C?， 2272C?cos2C?． ????2分 ∴ 4cos221?cosC7?(2cos2C?1)?． ∴ 4?2212即 2cosC?2cosC??0． ????4分
21∴ cosC?．
2∵ 4sin2又∵ 0?C?? ， ∴ C?（Ⅱ）由（Ⅰ）得 A?B??3． ????7分
2?． 32??A) 3∴ sinA?sinB?sinA?sin(
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?sinA?sin2?2??cosA?cos?sinA 33 ?∵ 0?A?∴ 当A?33?sinA?cosA?3sin(A?)． ????10分 2262???5??A??，∴ ．
3666??6?2，即 A??3时，sinA?sinB取得最大值为3．????13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）①处填20，②处填0.35；
补全频率分布直方图如图所示.
500名志愿者中年龄在?30,35? 的人数为 0.35?500?175人． ????6分
20 25 30 35 40 45 年龄 岁 频率组距 （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人,
则其中“年龄低于30岁”的有5人，
“年龄不低于30岁”的有15人． ????7分 故X的可能取值为0，1，2；
2112C1521C15C515C52P(X?0)?2?，P(X?1)?2?， P(X?2)?2?，
C2038C2038C2038 ???11分
所以X的分布列为：
X P 0 21 381 15 382 2 38
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∴ EX?0?211521?1??2??． ????13分 383838217．（本小题满分14分）
解：如图分别以DA,DC,DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
D?xyz，
由已知得D?0,0,0?，A?2,0,0?，B?2,2,0?，C?0,2,0?，B1?2,2,2?，D1?0,0,2?，
E?1,0,2?，F?0,2,1? ????2分
????（Ⅰ）取AD1中点G，则G?1,0,1?，CG??1,?2,1?，
????????????又EF???1,2,?1?，由EF??CG，
zD1C1????????∴EF与CG共线．从而EF∥CG，
∵CG?平面ACD1， EF?平面ACD1， ∴EF∥平面ACD1． ????6分
EA1B1FGDPCyAxB????（Ⅱ）∵AB??0,2,0?，
????????????????EF?AB46??????， cosEF,AB?????3|EF|?|AB|26∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为
6． ????9分 3（Ⅲ）假设满足条件的点P存在，可设点P?2,2,t?（0?t?2），
?平面ACP的一个法向量为n??x,y,z?， ?????????????2x?2y?0,?n?AC?0,???则????? ∵AP??0,2,t? AC???2,2,0?，∴? ?2y?tz?0,???n?AP?0.?2取n?(1,1,?)． ????11分
t????易知平面ABC的一个法向量BB1?(0,0,2)，
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???????依题意知， BB1,n?30或150，
???????∴cosBB1,N?4|?|t2?2?4t2?43463，即2?(2?2)，解得t????13分
t4t3266在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时， ?(0,2]，∴
33?二面角P?AC?B的大小为30． ???14分
∵
18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?12x?lnx， 21x2?1 ∴ f?(x)?x??． ???2分
xx对于x??1,e?，有f?(x)?0，∴ f(x)在区间?1,e?上为增函数．
1e2∴ fmax(x)?f(e)?1?，fmin(x)?f(1)?． ???5分
22（Ⅱ）令g(x)?f(x)?2ax?(a?)x?2ax?lnx，
则g(x)的定义域为 ?0,???. ???6分 在区间?1,???上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于g(x)?0在区间
122?1,???上恒成立.
∵ g?(x)?(2a?1)x?2a?1 x(2a?1)x2?2ax?1(x?1)[(2a?1)x?1]??， ??8分
xx ① 若a?11，令g?(x)?0，解得：x1?1，x2? ． 22a?11当x2?x1?1，即?a?1时，在?x2,???上有g?(x)?0，
2此时g(x)在区间?x2,???上是增函数，并且在该区间上有g(x)??g(x2),???，不
合题意；
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当x2?x1?1，即a?1，同理可知，g(x)在区间?1,???上，有g(x)??g(1),???，也不合题意； ???10分
1时，则有2a?1?0，此时在区间?1,???上恒有g?(x)?0， 2从而g(x)在区间?1,???上是减函数；
11要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足g(1)??a??0?a??，
22② 若a?由此求得a的范围是???11?,?. ???12分 22???11?,?时，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方. ?22?综合①②可知，当a∈?? ?????13分 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得
c2① ?a2因为椭圆经过点P(又a?b?c ③
22261,)，所以22(621)()22?2?1 ② a2b2由①②③ 解得 a?2，b?c?1.
222x2?y2?1. ????3分 所以椭圆方程为2tt2（Ⅱ）以OM为直径的圆的圆心为(1,),半径r??1，
24t2t2方程为(x?1)?(y?)??1 ?????5分
242因为以OM为直径的圆被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2， 所以圆心到直线3x?4y?5?0的距离d?r2?1 ?
t. ????7分 2高三数学（理科）答案第5页（共8页）