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?d??a?d?? ?dt （3.5） ???(0) = ?0其中a?A/D，d?(B?R)/D，t?0（模型开始考察时刻），即减肥问题的数学模型 模型求解得
?(t)??e?dt?
a(1?e?dt) （3.6） da?A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，而d?(B?R)/D表示由于能量的消耗而
失掉的百分数（每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分）. 3.2 针对实际问题的模型建立
1. 由一般模型的建立已经知道减肥问题的数学模型为微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数.
首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗B，因为没有运动，所以有R?0，根据式（3.6）式，得
B?AW
（3.7）
从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗
从假设5可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，有没有运动，所以会长胖，进一步，由?(t) (五人的理想体重)，W（五人减肥前的体重），D=8000kcal/kg（脂肪的能量转换系数），根据式（3.6）式有
1??a/dD?B?A （3.8） t??ln??lnd?0?a/dB?0B?A将A（五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表3.1所示
表3.1 达到理想体重所需天数表
人 天数 Matlab源程序： R = 0;
1 194 2 372 3 313 4 266 5 298 D = 8000; %能量转换系数
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W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标
A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length( W );
B = A./W %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 a = A./D d = (B + R)./D for i = 1:n
t(i) = -(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0)); %减肥所需要的时间 end
2. 为加快进程，增加运动，结合查找资料得到各项运动每小时每kg体重消耗的热量表2，再结合假设3，取h?1h，R?rh?r，根据式（4.6）有
t??1??a/dD?(B?R)?A （3.9） ln??lnd?0?a/dB?R?0(B?R)?A将A（五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，取不同的r，得到一组数据， 在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同运动强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表3.2所示：
表3.2 不同运动强度下达到理想体重所需天数
运动 时间/天
Matlab源程序： h = 1;
跑步 122 187 173 148 163 跳舞 155 261 232 198 220 乒乓 141 229 207 177 196 自行车 160 274 243 206 230 游泳 116 176 164 140 154 r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h.*r; n1 = length(R);
D = 8000; %能量转换系数
W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标
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A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length(W);
B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n1 for i = 1:n
t = (i,j) = -(D./(B(i) + R(j)) * log((W1(i). * (B(i)+R(j)) - A0)./(W(i).* (B(i) + R(j)) -
A0))); %减肥所需要的时间
end end
3. 要使体重稳定在一个定值，则有
?*?A （3.10） B?R根据自己的不同理想目标和B（每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗），在不同小时下的能量消耗表：
（1）在h?1的情况下运动所消耗的能量，如下表3.3
表3.3 h?1的情况下运动所消耗的能量
运动 消耗能量(kcal)
跑步 2667.00 2376.400 2495.600 2600.000 2644.800 跳舞 2367.800 2056.400 2175.600 2260.000 2284.800 乒乓 2472.800 2168.400 2287.600 2379.000 2410.800 自行车 2330.200 2016.400 2135.600 2217.500 2239.800 游泳 2735.300 2448.400 2567.600 2676.500 2725.800 （2）在h?2的情况下运动所消耗的能量，如下表3.4
表3.4 h?2的情况下运动所消耗的能量
运动 消耗能量(kcal) Matlab源程序： h = [1
跑步 3198.00 2936.400 3055.600 3195.000 3274.800 跳舞 2592.800 2296.400 2415.600 2515.000 2554.800 乒乓 2802.800 2520.400 2639.600 2753.000 2806.800 自行车 2517.700 2216.400 2335.600 2430.000 2464.800 游泳 3327.800 3080.400 3199.600 3348.000 3436.800
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2];
r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h*r;
D = 8000; %能量转换系数
W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标
A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n1 = length(W);
B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n for I = 1:n1
A1(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(1,j)); %在h=1的时间下运动所消耗的能量 A2(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(2,j)); %在h=2的时间下运动所消耗的能量 end end
4 模型的分析与讨论
4.1 针对一般减肥模型
在式（3.6）中假设a?0，即假设停止进食，无任何能量摄入，于是有
?(t)??0e?dt （4.1）
这表明在t时刻保存的体重占初始体重的百分率由e?dt给出，特别当t?1时，e?d给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在(0,t)时间内体重的消耗率，它表明在(0,t)内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由lim?(t)?0，即体重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危
t??险的.
a/d是模型中的一个重要的参数，由于a?A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，
而d?(B?R)/D表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是a/d就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知, t时刻的体重由两部分构成, 一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分. 另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直
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观上理解也是合理的. 由式（3.5）
d??0即a/d??,体重从?0递减, 这是减肥产生效果,另外由式（3.6）dt可以看到t??时?(t)??*?a/d?A/(B?R),也就是说式（3.5）的解渐进稳定于
?*?a/d,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称?*为减肥效果指标,由
?*?A/(B?R)，因为B是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意
愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数，于是就有如下结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识.
人体体重的变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值. 4.2 针对具体问题
从上几个表可知，普遍观察得出结论，游泳是减肥的最佳方法，无论是在长时间还是短时间内，从结果来看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥的最佳方法，也可从下图可知，图4.1表示每个人的能量消耗图，都是离散的，并且都是递增的，表明了游泳时能量消耗最快的，选此方法减肥是最合理有效的. Matlab源程序： x = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; y = [ 2667.00 2376.400 2495.600 2600.000 2644.800
2367.800 2056.400 2175.600 2260.000 2284.800
2472.800 2168.400
2330.200 2016.400
2735.300 2448.400
2287.600 2135.600 2567.600 2379.000 2217.500 2676.500 2410.800 2239.800 2725.800 ];
subplot( 3, 2, 1 ); plot( x, y(1,:),' g* '); title(' 第一个人 '); subplot( 3, 2, 2); plot( x, y(2,:),' ro '); title(' 第二个人 ');
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subplot( 3, 2, 3); plot( x, y(3,:),' g. '); title(' 第三个人 '); subplot( 3, 2, 4); plot( x, y(4,:),' c+ '); title('第四个人'); subplot( 3, 2, 5); plot( x ,y(5,:),' go '); title(' 第五个人 ');
图4.1 每个人的能量消耗图
参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015年. [2] 王敏生， 王庚. 现代数学建模方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008年. [3] 罗万成. 大学生数学建模案例精选[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 2007年. [4] 胡良剑，孙晓君. Matlab数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006年.