0-5-10功率/DB-15-20-25-30-35050100150200250频率300350400450500
图10 海明窗
-5-10-15功率/DB-20-25-30-35050100150200250频率300350400450500
图11 blackman窗
Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n)，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。 不同窗函数的 Welch 谱估计在选择窗函数时[10]，一般有如下要求： (1)窗口宽度 M要远小于样本序列长度N ，以排除不可靠的自相关值； (2)当平稳信号为实过程时，为保证平滑周期图和真是功率谱也是实偶函数，平滑窗函数必须是实偶对称的；
(3)平滑窗函数应当在m=0出游峰值，并且m随绝对值增加而单调下降，使可靠的自相关值有较大的权值；
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(4)功率谱是频率的非负函数且周期图是非负的，因而要求窗函数的Fourier变换是非负的。
3.4 各种方法的比较与分析
(1) 在采样点相同的时，周期图法和BT法的特点是离散性大，曲线粗糙，方差较大，但是分辨率较高；
(2) Bartlett法和Welch法的收敛性较好，曲线平滑，方差较小，但是功率谱主瓣较宽，分辨率低，这是由于对随机序列加窗截断所引起的Gibbs效应造成的；
(3) 由仿真结果可以看出：使用不同的窗函数谱估计的质量是不一样的，从图9、10、11可以观察到矩形窗的主瓣较窄，分辨率较好，但方差较大，噪声水平较高；而 Blackman 窗和 Hamming 窗的主瓣较宽，分辨率较低，但方差较小，噪声水平较低。因此，在进行谱分析时选择何种窗函数，要视具体情况而定。如果强调高分辨率，能精确读出主瓣频率，而不关心幅度的精度，例如测量震动物体的自震频率，可以选用主瓣宽度比较窄的矩形窗；对受到强干扰的窄带信号若干扰靠近信号，则可选用旁瓣幅度较小的窗函数，若离开通带较远，则可选用渐近线衰减速度比较快的窗函数。总之，要针对不同的信号和不同的处理目的来选择合适的窗函数，这样才能得到良好的效果。
所以，与Bartlett法相比，Welch法的估计曲线比较粗糙，但是分辨率较好。原因是 Welch 法中对数据进行截断时加的是Hanning窗，相对于矩形窗，Hanning窗的主瓣包含更多的能量，因而使功率谱的主瓣较窄，分辨率较高。
由上述理论分析及仿真实验可知，经过对几种方法的比较我们可以看出Welch法采用加窗交叠求功率谱，可以有效减小方差和偏差，一般情况下能接近一致估计的要求，因而得到广泛应用。同时还可以发现，对信号加不同的窗函数，谱估计的质量是不同的。
4 应用举例
现取具体信号加随机信号对随机振动信号进行功率谱估计，取周期信号和随机信号叠加，即:sin?2??80t??2sin?2??140t??随机信号，用经典Welch估计法进行谱估计,程序如下：
clear; Fs=1000; n=0:1/Fs:1;
xn=sin (2*pi*80*n)+2*sin(2*pi*140*n)+randn(size(n)); nfft=1024;
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window=boxcar(100); %矩形窗 window1=hamming(100); %海明窗 window2=blackman(100); %blackman窗 noverlap=20; %数据无重叠
range='half'; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率 [Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range); [Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range); [Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range); plot_Pxx=10*log10(Pxx); plot_Pxx1=10*log10(Pxx1); plot_Pxx2=10*log10(Pxx2); figure(1) plot(f,plot_Pxx); xlabel('频率') ylabel('功率/DB') pause; figure(2) plot(f,plot_Pxx1); xlabel('频率') ylabel('功率/DB') pause; figure(3) plot(f,plot_Pxx2); xlabel('频率') ylabel('功率/DB')
功率谱图如图12：
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图12 随机振动功率谱图
5 结论
1、各种方法优缺点的总结
由前一章的仿真结果和分析可得:（1）在采样点相同的时，周期图法和BT法有离散性大，曲线粗糙，方差较大的缺点；优点是分辨率较高；
(2) Bartlett法和Welch法的优点是收敛性较好，曲线平滑，方差较小，缺点是功率谱主瓣较宽，分辨率低；
(3)对于Welch方法的三种窗函数，矩形窗的优点是：主瓣较窄，分辨率较好，
缺点是方差较大，噪声水平较高；而 Blackman 窗和 Hamming 窗的缺点是主瓣较宽，分辨率较低；优点是方差较小，噪声水平较低。因此，在进行谱分析时选择何种窗函数，要视具体情况而定。如果强调高分辨率，能精确读出主瓣频率，而不关心幅度的精度，例如测量震动物体的自震频率，可以选用主瓣宽度比较窄的矩形窗；对受到强干扰的窄带信号若干扰靠近信号，则可选用旁瓣幅度较小的窗函数，若离开通带较远，则可选用渐近线衰减速度比较快的窗函数。总之，要针对不同的信号和不同的处理目的来选择合适的窗函数，这样才能得到良好的效果。
通过对功率谱估计概念的理解和对经典谱估计的几种方法的认识以及仿真的
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结果。可以得到在经典谱估计中，无论是周期图法还是其改进的方法，都存在着频率分辨率低、 方差性能不好的问题，原因是谱估计时需要对数据加窗截断，用有限个数据或其自相关函数来估计无限个数据的功率谱，这其实是假定了窗以外的数据或自相关函数全为零，这种假定是不符合实际的，正是由于这些不符合实际的假设造成了经典谱估计分辨率较差。另外，经典谱估计的功率谱定义中既无求均值运算又无求极限运算，因而使得谱估计的方差性能较差，当数据很短时，这个问题更为突出。如何选取最佳窗函数、提高频谱分辨率，如何在短数据情况下提高信号谱估计质量，还需要进一步研究。 2、展望
通过这篇论文的仿真结果和分析，可以看到经典功率谱估计的应用还是很广泛的，只是在某些需要高分辨率的情况下，使用经典功率谱的不到精确的结果。
尤其是频率分辨率低以及加窗对功率谱的影响，使得经典谱估计的应用受到了限制。针对以上的缺点，很多学者提出了解决的方法，就是一种现代谱估计方法，这种方法有谱分辨率高，旁瓣小的特点。现代谱估计有ARMA谱估计是以信号的差分模型为基础的现代谱估计；Burg的最大熵谱估计是来源于信息论的现代谱估计；MUSIC方法是一种估计信号空间参数的现代谱估计方法，它将功率谱推广为空间谱，是最早问世的子空间方法。针对在仿真和实际应用中出现的问题，可以在这些方法的基础上寻找更好的谱估计方法。这将对各个领域中需要进行随机信号处理的问题带来很大的方便。
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