f(x2)?f(x1)? 恒成立，
3000?50x23000?50x1(x2?x1)(50?1500?3000a)???0
1500?ax21500?ax1(1500?ax2)(150?0ax1)
????11分 ????13分 ????14分
则50?1500?3000a,得a?25,
因a是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。
方法二，由题意得，f(x?1)?f(x)?0,x?[1,9],x?N*恒成立??8分 又f(x?1)?f(x)?0?3000?50(x?1)3000?50x，????11分 ?1500?a(x?1)`500?ax
????13分 ????14分
所以3000a?1500?50得a?25,
因a是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。
21．（本题满分16分） 解：（1）y?f(x)的图像如图所示。
????4分
（2）任取x?[??, 则f(x)?f( 又当x??4],则??3???x?[,],因函数y?f(x)图像关于直线x?对称， 2424
????6分
?2?x)
?4时,f(x)??sinx,则f(x)?f(?2?x)??sin(?2?x)??cosx??8分
?????cosx,x???,????4?? 即f(x)????sinx,x?[?,3?]?42? （3）当a=-1时，f(x)?a的两根为0，
????10分
?2,则Ma??2;
????11分
当a?(?1,?2?)时,f(x)?a的四根满足x1?x2??x3?x4, 24????13分
由对称性得，x1?x2?0,x3?x4??,则Ma??;
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当a??2?时,f(x)?a的三根满足x1?x2??x3， 24 由对称性得，x3?x1??2,则Ma?3?; 4????14分
?2???,1时,f(x)?a两根为x,x,则对称性得,M?.??15分 当a???12a?22?? 综上，当a?(?1,?223?)时,Ma??;当a??时Ma?; 224
????16分
?2???,1?{?1}时,M?. 当a??a?2?2??22．（本题满分16分）
解：（1）由必要条件f(?1)?f(1)?0得a2?a?2?0,a?0, 所以a=-1，
????2分
1?2x 下面 证充分性，当a=-1时，f(x)?， x1?2 任取x?0,x?R，
1?2?x1?2x2x?11?2x??x??0恒成立，????4分 f(?x)?f(x)??xxx1?21?22?11?2 由A={-1}。
????5分
1?2xy?1 （2）法一，当a=-1时，由y?f(x)?得x?log, 2y?11?2x 互换x，y得f 则f?1?1(x)?log2x?1, x?1
????6分 ????7分
(x?1)?log2x， x?2?2x?1 从而y?g(x)?x
2?1 所以g(1)??4, 即B={-4}
????8分 ????9分 ????10分
1?2x?1由y?f(x?1)得, 法二、当a=-1时，由f(x)?x1?2x?1?f(y),x?f(y)?1,
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?2x?1 互换x，y得y?g(x)?f(x)?1?x
2?1 所以g(1)??4 即B={-4}
????8分 ????9分 ????10分
（3）原问题转化为g(a)?(x?4)a?(x2?10x?9)?0,a?{a|a?0,a??1,a??4}
恒成立，则??x?4?0
?g(0)?0
????12分
或??x?4?0
g(0)?0?
????14分 ????16分
则x的取值范围为[，4]。
23．（本大题满分18分）
解：（1）因为f(x)?x?m,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数, 所以其值域为[an?1?m,bn?1?m]
????2分 ????4分 ????6分
于是an?an?1?m,bn?bn?1?m(n?N*,n?2) 又a1?0,b1?1,所以an?(n?1)m,bn?1?(n?1)m.
（2）因为f(x)?x?mf(x)?kx?m(k?0),当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数
所以f(x)的值域为[kan?1?m,kbn?1?m],因m?2,则bn?kbn?1?2(n?2)??8分 法一：假设存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4,则limbn?klimbn?1?2，
n??n??n??得4?4k?2,则k?1符合。 2 ????12分
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足limbn?4.
n??当k=1不符合。??9分
当k?1时,bn?kbn?1?2(n?2)?bn?则bn?(1?22?k(bn?1?)(n?2)， k?1k?1????11分 ????12分
22)kn?1?, k?1k?121?4,得k?符合. 当0?k?1时,limbn?n??1?k2 （3）因为k?0,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调减函数,
所以f(x)的值域为[kbn?1?m,kan?1?m]
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????13分
于是an?kbn?1?m,bn?kan?1?m(n?N*,n?2) 则bn?an??k(bn?1?an?1) 又b1?a1?1
????14分 ????15分
?i,(k??1)?则有Ti?Si??1?(?k)i
,(k?0,k??1)??1?k进而有
????16分
,(k??1)?2021055?(T1?T2???T2010)?(S1?S2???S2010)??2010?2011 k?k2011,(k?0,k??1)?(1?k)2?
????18分
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