（3）存在满足条件的点P．
如图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N， 依题意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4－x， 在Rt△ABO中，∵tan∠ABO=
AOBO?232?3，
∴∠ABO=60°，∴∠PCN=∠ABO=60°。 在Rt△PCN中，cos∠PCN=
??CNPC?12，即
434?xx?12，∴x?83。
∴PN=CN?tan∠PCN=?4?8???3?83?433。
∴满足条件的P点的坐标为（ , 33）。
【例4】（浙江金华、丽水） 解：（1）连接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。 ∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。 ∴弧AB的长=
60???5180?53?。
（2）连接OD，
∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°。
又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。
2222在Rt△ODE中，OE=OD?DE?10?8?6。
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA。 ∴
AEDE?EFOE，即
48?EF6，∴EF=3。
（3）设OE=x，
①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角
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形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=
52，∴E1（
52，0）。
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣x，AE=10﹣x， ∴CF∥AB，有CF=
12AB。
CEAE?CFAD∵△ECF∽△EAD，∴∴E2（
103，即
5?x10?x?14，解得，x?103。
，0）。
②当交点E在点C的右侧时， ∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。 连接BE，
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。 ∴CF∥BE。∴
CFBE?OCOE。
CFAD?CEAE∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=900，∴△CEF∽△AED，∴而AD=2BE，∴
CF2BE?CEAE，
。即
52x?x?510?x，
解得x1?5?5174 , x2?5?5174
∵ x2?5?5174＜0，舍去，∴E3（5?5174，0）。
③当交点E在点O的左侧时， ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。 连接BE，
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得BE=
12AD =AB，∠BEA=∠BAO，
∴∠ECF=∠BEA。 ∴CF∥BE。∴
CFBE?OCOE。
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED，∴而AD=2BE，∴
OE2OECEAE??CFAD，
52x?x?510?xCEAE。即，
解得x1??5?5174 , x2??5?5174
∵ x2??5?5174＜0，舍去，
又∵点E在x轴负半轴上，∴E4（ 5?5174，0）。
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为： E1（
52，0）、E2（
103，0）、E3（
5?5174，0）、E4（ 5?5174，0）。
【学力训练】
1、（福建泉州）
解：（1） 1，3，60°。
（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，QM ， ∵OE和OP是⊙Q的切线，
∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。 而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。 又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。
∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。
∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角
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形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。
在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，
∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。 ∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。 ∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。
∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。
（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。
理由如下：如图，连DM，ME， ∵DM为直径，∴∠DME=90°。 而DM垂直平分MN， ∴Rt△MFD∽Rt△EFM。 ∴MF2=EF?FD。
设D（h，k），（h＞0，k=2r），
则过M、D、N三点的抛物线的解析式为： y=a（x-h）2+k。
又∵M、N的纵坐标都为1，
当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=h? 1?ka，x2=h? 1?ka。
∴MN=2 1?ka2。∴MF=
12MN= 1?ka。
?∴???1?k?1?k ?1??k?1?。∴ ?1??k?1?。∴a=－1。 ?a?a?∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变 化，a=－1。
2、（浙江湖州）
（1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，由题意
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得y1?kx112，y2?12kx2．
1212?S1?x1y1?k，S2?x2y2?k．
?S1?S2，即△AOE与△FOB的面积相等．
?k?，3?，F?3??k??4，?， ?4?（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E?12?S△ECF?EC?CF?1?1??1?4?k3?k?， ???2?3??4?12k?12k?S△ECF?12?k?S△ECF
?S△EOF?S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△ECF?12??S?S△OEF?S△ECF?12?k?2S△ECF?12?k?2?11221?1??1?4?k3?k? ???2?3??4??S??k?k．
当k??1?1?2?????12??1?1?4?????12??6时，S有最大值．
S最大值??3．
（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN?OB，垂足为N． 由题意得：EN?AO?3，EM?EC?4?13k，MF?CF?3?14k，
???EMN??FMB??FMB??MFB?90，??EMN??MFB．
又??ENM??MBF?90，
?△ENM∽△MBF．
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