II 幂 级 数：
10定义，具有下列形式的函数项级数
n2n?anx?a0?a1x?a2x???anx??称为幂级数 ?n?0((?an(x?x0)n?0??n令x?x0?t 即上述形式))
n取x?x1 ?anx1为常数项级数，如收敛，其和为s(x1)
n?0 x?x2 ?anxn2为常数项级数，如收敛，其和为s(x2) x?x s(x)为和函数 limsn(x)?s(x),x?0,总收敛
n??
对幂级数主要讨论两个问题
（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数 幂级数的收敛域具有特别的结构
定理：（i）如?anxn在x?x0 (x0?0)收敛，则对于满足x?x0的
n?0?一切x ?anxn都绝对收敛
n?0?? （ii）如?anxn在x?x1发散，则对于满足x?x0的一切x
n?0n?anx发散 ?n?0nn证：（1）∵ ?anx0收敛?limanx0?0
n?0?n??n?k （收敛数列必有界） ∴ anx0n而anxn?anx0nxx0n?kx x0n?x?x??1即x?x0 收 为几何级数，当?k???xn?0?x0?0?∴ ?anxn收 ∴ 原级数绝对收敛
（2）反证：如存在一点x2 (x2?x1) 使?anxn2 收
n?0n则由（1）?anx1 收，矛盾。
n?0??由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使x?R收，x?R发，称R为收敛半径
20幂级数的收敛半径及其求法 定理：如幂级数?anxn系数满足limn?0?an?1?? (或limnan??)
n??an??n则（1）0????? （2）??0
?R?
1 ?
R???
（3）???? R?0
n?注意：当x??R ?anx的敛散性不能确定，要讨论?an(?R)n
n?0n?0
例1：求下列幂级数的收敛域 （1）?(?1)n?1??n?13nxnxn （2）?(?1)n
n?1nn?n?ln(1?n)n?1nx2n?1x （4）?（3）? nnnn?1n?0(?3)?2an?13n?1n解：（1）lim?lim?n?3
n??an??n?13n当x?故R?1 3?11 原级数为?(?1)n?1 为交错级数，满足 3n?1n?un?1n?1n?1?un?1 ?limun?0 ∴ 收敛
n???11当x?? 原级数为?? 发
3n?0n1∴ 收敛域为(?,3
n??1] 3解（2）由于limnan?lim故收敛域为(??,
解（3）lim1?0 ∴ R??? n??n??)
an?1ln(n?2)n ?lim?n??an??n?1ln(n?1)n2lnn?ln(1?)nn?1 ?lim?1n??n?1lnn?ln(1?)n∴ R?1 当x?1
x??1
ln(1?n)ln(1?n)n?21?) 原级数为? 发(?nnnn?1?ln(1?n)为交错级数 nn?1ln(1?n)?0 满足（1）limun?limn??n??nln(1?x) （2）设f(x)? x?2
xx?ln(1?x)x?1，ln(1?x)?1 ，当x?2，f?(x)?1?x21?xxln(1?n)ln(2?n)??un?1 ∴f?(x)?0 f(x)单调减， ∴un?nn?1?ln(1?n)故?(?1)n 收敛 ∴ 收敛域为[-1，1）
nn?1
原级数为?(?1)n?un?1(n?1)(?3)n?2n2?xlim?解（4）lim
n??un??(?3)n?1?2n?1nn
n?1(?3)n?2n? ?xlim nnn??n?3(?3)?2?2221?(?)n1223?x ?xlimn??23?3?2(?)n3令
12x?1 x?3 ∴ R?3 3当x?3 原级数为??n?3nn?1??3?n?2n3
n?3n
n2???1?n?????3?nn??limun?3limn????3?n?2n?3limn???0
∴ 发散 同理 x??3
级数也发散
∴收敛域?3,3
??
例、P281 例7.20、7.21
20幂级数的性质 P282
求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：
xnx2xne???1?x???????,2!n!n?0n!x????,???
??1,1?
?1????1?nxn?1?x?x2??????1?n?1xn??,1?xn?0?1??xn?1?x?x2????xn??,1?xn?0??1,1?
ln?1?x?????1?n?1?n?1xnx2x3x4?x?????,n234??1,1?
2n?1x2n?1x3x5x7nxsinx????1??x????????1???
????2n?1!3!5!7!2n?1!n?0?n ???,???
2nx2x4x6nxcosx????1??1????????1???
2!4!6!n?0?2n?!?2n?!?nx2n ???,???
?1?x???1??x?????1?2????1?????n?1?nx???x??,2!n!??1,1?
在端点的敛散性与α有关。
例、P284 例7.22、7.23
例、求下列幂级数的和函数
1?n2n1、?n?n?1?x 2、?x nn?1n?0n!?2?n?
un?1xn?1n?n?1??lim??x 解1、limnn??un???n?1??n?2?xnR=1，x=±1，un→0，∴收敛域为（-1，1） 令S?x???n?n?1?x?x??n?1?nxn?1
nn?1n?1??2???x2xn?1??? ?x? （-1，1） x?x????3???n?1??1?x??1?x???