豫升（云飞）专升本高数教材
第三章 导数应用 同步训练一答案解析
一、
选择题
1、答案：C
解：本题考查罗尔中值定理的内容的三个条件.A中f(x)在x?0处不连续，B中f(?2)?(?6)2?36?f(4)?0，D中f(x)在x?0处不可导. 2、答案：B
解：选项A的ln(lnx)在x?1处不连续，选项B的1lnx在x?1处不连续，选项D的定义域是???,2?，?2,e?包含不是定义域的部分，显然不连续. 3、答案：B
解：显然y?sinx在?0,??上满足罗尔中值定理，故存在???0,??，使得 f?(?)?cos??0，从而可有???2.
4、答案：C
解：本题考查拉格朗日中值定理，显然选C. 5、答案：C
解：f(x)在?a,b?上可导，并且有a?x1?x2?b，所以f(x)在?x1,x2?上连续，并且在?x1,x2?内可导，从而符合拉格朗日中值定理，存在x1???x2，使得
f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1)，答案显然是C.
二、 填空题
1?xlne?x6、答案：
?1?x
解：将f(x)?ex代入已知公式里，有ex??x?ex?ex???x??x，从而能解出
???(?x)?1?x1ln2lne?x?1?x.
7、答案：?1
解：显然f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，存在???0,1?，使得
f?(?)?1?f(1)?f(0)1?ln2，所以解得??1ln2?1.
??18、答案：ka
解：由于limf?(x)?k，对函数f(x)在?x,x?a?上运用拉格朗日中值定理，可
x??知????x,x?a?，使得f?(?)?x??f(x?a)?f(a)a???，
从而有lim?f(x?a)?f(x)??a?limf?(?)?a?limf?(x)?ak.
x??9、答案：
12
解：根据柯西中值定理，可知：存在????1,2?，使得 f?(?)g?(?)?f(2)?f(?1)g(2)?g(?1)?5?(?1)4?1?2，又因为f?(x)?2，g?(x)?2x，代入上式，可
得
1??2，从而有??12.
三、 解答题
10、证明下列各题.
（1）证明：反证法，假设方程x3?3x?c?0在?0,1?内有两个实根，分别是x1和x2，并且0?x1?x2?1.令f(x)?x3?3x?c，则有f(x1)?f(x2)?0，又显然f(x)在?x1,x2?上连续，?x1,x2?内可导，满足罗尔中值定理，因此存在???x1,x2?，使得f?(?)?0.又因为f?(x)?3x2?3在?x1,x2?上恒小于0，因此矛盾，假设不成立，原命题正确，即方程x3?3x?c?0在?0,1?内不可能有两个实根.
（2）证明：反证法，假设方程x5?x?1?0不止有一个正根，假设有两个根
x1和x2，并且0?x1?x2???.令f(x)?x5?x?1，则有f(x1)?f(x2)?0，又显然
满足罗尔中值定理，因此存在???x1,x2?，f(x)在?x1,x2?上连续，?x1,x2?内可导，
使得f?(?)?0.又因为f?(x)?5x4?1在?0,???上无解，因此与存在?使得
5f?(?)?0矛盾，所以假设不成立，原命题正确，即方程x?x?1?0只有一个正
根.
（3）证明：由题中已知的函数表达式易知，方程f(x)?0有四个根，分别是1，2，3，4，并且有f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0.又f(x)在区间?1,2?上连续，在?1,2?内可导，满足罗尔中值定理，存在?1??1,2?，使得f?(?1)?0.同理，在区间?2,3?上存在?2??2,3?，使得f?(?2)?0；在?3,4?上存在?3??3,4?，使得
f?(?3)?0.从而可知f?(x)?0有三个根.
（4）证明：方程arctanx?kx?0有正根，可设为x0，且x0??0,???.令
f(x)?arctanx?kx，则有f(0)?f(x0)?0，显然f(x)在区间?0,x0?上连续，在
?0,x0?内可导，满足罗尔中值定理，因此存在???0,x0?，使得
f?(?)?11??2?k?，即0k?11??2，因为x0?0，所以可知0?k?1.
11?x?211、证明：令f(x)?arctanx?arccotx，则f?(x)?个常值函数.又因为f(1)?arctan1?arccot1?arctanx?arccotx??11?x2?0，所以f(x)是
?2?4??4?2，所以f(x)?，即
?2. 12、证明下列不等式. （1）证明：令f(t)?arctant，对任意的x，y?R（其中x?y），f(t)在x和y的闭区间上连续，开区间内可导，根据拉格朗日中值定理可知，在x，y之间存在?，使得
f?(?)?arctany?arctanxy?x?11??2，显然0?f?(?)?1，即
arctany?arctanxy?x?1.
当x?y时，有arctany?arctanx?y?x即arctanx?arctany?x?y；
，xa?ryc?tx故当
x?y当x?y时，有arcyt?anarcxt?an时，显然
ya?rcx?.t而当aynx?y时，此不等式显然成立.
所以对任意的x，y?R，都有arctanx?arctany?x?y.
（2）证明：令f(t)?et，先假设x?0，则f(t)在?0,x?上连续，在?0,x?内可导，根据拉格朗日中值定理可知，存在???0,x?，使得
f?(?)?f(x?)fx(e0?)1e?1??x??e，也即1??e?e，取左边不等式，整理可
xxxx得ex?1?x.同理当x?0时，该不等式仍然成立.
（3）证明：令f(t)?sint，对任意的x1，x2?R，当x1?x2时，不等式显然成立.当x1?x2时，函数f(t)在x1和x2的闭区间上连续，在开区间上可导，因此根据拉格
朗
日
f(2中
x?)值
f1(?定理
2可
s知，存在
???x1,x2?1，使得
f?(??)x)?x2?x1?x2ixn1xsin，也即 ??c?osx1sinx2?sinx1x2?x1?1.当x1?x2时，有sinx2?sinx1?x2?x1，即sinx1?sinx2?x1?x2；
当x1?x2时，有sinx2?sinx1?x2?x1.所以当x1?x2时，有sinx1?sinx2?x1?x2.
综上可知，对任意的x1，x2?R，都有sinx1?sinx2?x1?x2.
（4）证明：令f(x)?x3，函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，根据拉格朗日中值定理可知，存在???a,b?，使得
f?(?)?f(b)?f(a)b?a2?b?ab?ab?ab?a233，又
f?(?x)2，3x所以
332?f?(b)?3b，即
f?(a)?3a?f?(?)?3a(b?a)?b?a?3b(b?a)，故结论成立.
23313、证明：令F(x)?exf(x)，G(x)?ex，根据已知条件可知，F(x)在区间?a,b?上满足拉格朗日中值定理有
ef(b)?ef(a)b?abayy?ef(y)?ef?(y),y??a,b?，并且有
则f(a)?f(b)?1，
e?eb?abae?eb?abayy?ef(y)?e(f)?y.G(x)在区间?a,b?上也满足拉格朗日
中值定理有
??yy?e,???a,b?.两式联立可有e?ef(y)?ef?(y)，也就是说，
在?a,b?内存在两点?，y，使ey???f(y)?f?(y)??1.