5-1.点阵气体。设有N0个点阵位置，其上可以有一个或没有原子。若N个原子随机分布于点阵位置上（N≦N0），求简并函数（即可实现状态数）。分别讨论原子可分区与不可分区的情况。
解：当原子可区分时，简并函数相当于从N0个点阵位置中取N个作排列，其数目为： ??N0(N0?1)(N0?2)...(N0?N?1)?N0!
(N0?N)!当原子不可区分时，相当于从N0个点阵位置中取N个作组合，其数目为： ??N0!
(N0?N)!N!5-3.在容积V中，若一个粒子的能量E与动量P的关系为
E?cP （c为光速） 求该粒子在能量E～E?dE范围内的可实现状态数?(E)dE。
解：考虑到自由粒子在体积V（设边长为L的立方体）中时，动量本征值为Pi?nhL
于是
E?cP?c(Px2?Py2?Pz2)1/2?c?nx,ny,nz?0,?1,?2??2??2(nx?ny2?nz2)1/2,L
又 E??? 所以有： n??2?c?
4?nxmax3 3 当能量小于E时的状态数显然为球体积，即?(E)? 而nxmax4??33?? 于是?(E)??(?)?23?3 2?c32?c6?c?d??3d??23?2d? ?(?)d??d?2?c由于对给定动量，以光速运动的粒子还有两个偏振态。则有：
?(?)d??V2?d? 23?c
5-10.一系统由N个近独立粒子组成，每个粒子可处于能量为0和ε的能态之一，ε>0。求此体系的平均能量表达式，并证明：温度很高时（KT>>ε）， CV∝T-2；温度很低时（KT<<ε），CV→0。 解： Z??e??En?1?e???单 n
1?Z?NU?NU单??N?
Z??1?e???? ??NkT??低温：???kT,????1,U??N?e?N?e ???1?e ???U??kT??? cv???N?e??0??2???T?V?kT?
?NN?kT
高温：???kT,????1,U???N? 1?e???2??2kT?? kT ?k?2kNk?2N?2??U?cv???kT???T?2 ??N??2?224kT??T?V?2kT??????2kT????2kT???
5-13.某系统具有两个单粒子能级，能量分别为0和ε，每个能级上最多可占有一个粒子。在平衡温度T时，求此系统的平均粒子数，能级为ε状态的平均占有率；系统平均能量。
解：此系统可能状态（N，ε）可列出如下： （0，0），（1，0），（1，ε），（2，ε）
其总和为
??1?e???e??????e?2????
?1ln??[e???e??????2?e?2????] ???1(1?e?2????)
平均粒子数为 N?? ?1??对于能量为ε的态总和为???1?e?????
e?????1?平均粒子数N? ?????????1?ee?1此能态平均能量可写为E??N??e?????1
5-14.正负离子态。设有固定氢原子的一个点阵，每个原子可以有四种状态（N，ε）（N为电子数）：基态（1,?1111?），正离子态（0，??），负离子态（2，?），激发态（1，?）。2222求证每个原子的平均电子数为1的简单条件为：化学势??解：系统状态为（1,? 总和为：??e?2。
1111?），（0，??），（2，?），（1，?）。 22221??2?e1?????2?e1?????21?e1?2????21
1??????2?????ln?1???2??22 平均粒子数：N???[e?e?2e]
??? ?1?1??21?(e1??2?e1?2????2)
?e11 即 ????2?????????2??2??
22 于是条件为 ??2?
5-15.N型半导体在0K时有被电子填满的杂质能级。在较高温度下，电子可以从这些能级激
发到导带从而成为导电电子。这样的能级成为施主能级。计算施主能级上电子数时可以采用下列模型：将一个能级看作是一个系统，则此系统有三种可能状态（N，ε）：不被电子占据（0，0）；被自旋向上的电子占据（1，-ε0）；被自旋向下的电子占据（1，-ε0）若一块半导体中含N个施主能级，求这些能级上的平均电子数n.
解：设N个施主能级相互独立，考虑一个能级的情况，其巨和为：
要使N?1，则有e1?2????2?1?1?e??????e??????1?2e?????
000?ln?2e?????02?? 平均粒子数n1?? ?????0????0??1?2e2?e 整个半导体中的施主能级上的电子数为： N?Nn1?2N ????02?e