2009年初二数学竞赛试题
（2008年5月10日 上午9：00—11：00） 题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1－8 二 9－14 15 16 三 17 18 总分
答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．
2．解答书写时不要超过装订线． 3．可以用计算器
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项
得 分 是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填评卷人 或错填均得零分）
1．如图，三个图形的周长相等，则（ ）
（A）c
2aaa2a2.下列的计算正确的是( ).
ccbbbcccc
ccA．(ab)=ab； B.(－3pq)=－6pq C. x－
2448
22211122366x＋=( x－)；D.3(a)－6a=－3a 242323设a?7?1，则3a?12a?6a?12?（ ）
A.24. B. 25. C. 47?10. D. 47?12.
4.要使多项式(x?2)(x?2)(x?4)(x?8)?m为一个完全平方式，则m等于（ ） A．48 B．96 C．128 D．192
5.数学大师陈省身于2004年12月3日在天津逝世．陈省身教授在微分几何等领域做出了杰出贡献，是获得沃尔夫奖的惟一华人．他曾经指出,平面几何中有两个重要定理，一个是勾股定理，另一个是三角形内角和定理，后者表明平面三角形可以千变万化，但是三个内角的
和是不变量．下列几个关于不变量的叙述：
(1)边长确定的平行四边形ABCD，当∠A变化时，其任意一组对角之和不变； (2)当多边形的边数不断增加时，它的外角和不变； (3)当△ABC绕顶点A旋转时，△ABC各内角的大小不变； (4)在放大镜下观察，含角a的图形放大时，角a的大小不变； (5)当圆的半径变化时，圆的周长与半径的比值不变； (6)当圆的半径变化时，圆的周长与面积的比值不变， 其中，错误的叙述有 ( )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
6.在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。设k为整数，当直线
y?x?2与y?kx?k的交点为整点时，k的值可以取（ ）
A．4个 B.5个 C.6个 D.7个
7．有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3∶5，则桶的容积为（ ）
A.30升 B.40升 C.50升 D.60升 AD8．如图，在梯形ABCD中，∠D = 90°，M是AB的中点，若
MCM = 6.5，BC + CD + DA = 17，则梯形ABCD的面积为 ( ) (A)20 (B)30 (C)40 (D)50 BC二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
?9.化简：7?310?2217?3????
.
10.设a?19?b?9?c?8，则(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2? ． 11.设x,y为实数，代数式5x2?4y2?8xy?2x?2的最小值为 . 012.已知如图，在矩形ABCD中，AE?BD，垂足为E，?ADB?30且BC?86，则
三角形ECD的面积为
A D E 13.已知：关于x的方程(2m?3)x2?2mx?1?0，有两个不等的实数根，求F m的取值范围_________.
14.一辆自行车，前胎行驶6000km就不能继续使用，后胎行驶4000km就不能继续使用，若B C 在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶__________km.
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．如图1，在一个7×7的正方形ABCD网格中，实线将它分割成5块，再把这5块拼成如图2，中间会出现一个小孔，如果正方形ABCD的边长为a，试计算图2中小孔的面积．
A D
BC图2图1
16．一个长40cm、宽25cm、高50cm的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为acm
(a≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?
17．如图，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．
?①猜想：如图，?BOC? （用含n的式子表示）；
②根据，证明你的猜想．
18.一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即：形如ab的两位数被当成了两位数ba），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？
参考答案：
?y?x?2详解：?x?2?kx?k?(k?1)x??(k?2)?y?kx?k?ADADA Ak?Z,x?Z,K?1,k?0?x??(k?2)k?1??1?k3?1?Z
?k?1??1,?3?四种情况。B B
?9．提示：原式=7?3(7)2?(3)2??10?221???10?221??10?221??4
2410.222 11．提示：原式=4?x?y???x?1??1≥1. 12. 483 详解：由题可得：过CD点作CF?BD于F； 易证Rt?ABE?Rt?CDF?AE?CF?S?ADE?S?CDE ??ADB?300,BC?43,?AE?12BC?2322?DE?3AE?6?S?ADE?1DE?63 2AE?13.0≤M<3且m不等于
53
14. 4800 设行驶x千米后交换前后轮胎，则之后有： (3000-x)= (5000-x) 353
解得x=1875 ∴最多可以行驶1875+ (5000-x)=1875+1875=3750千米。
515．解：
1a2 1分 49如图，连结AE，则
22a4a4a1 S?AEF????2774923a S?AED?S?ADF?S?AEF?49∴GE=6a 8分
49∴EM=GM-GE=36a
492∴小孔面积S=a(2a?36a)?a 15分
7492 ?1a
4916．解：由题设，知水箱底面积S＝40×25＝1000(cm2)．
水箱体积V水箱=1000×50＝50000（cm3）， 铁块体积V铁=10×10×10＝1000（cm3）. （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm时，
1000a＋1000＝50000, 得 a＝49（cm）．
所以，当49≤a≤50时，水深为50cm（多余的水溢出）．
……………3分
………………6分
（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm时，
1000a＋1000＝10000, 得 a＝9（cm）．
………………9分
a×40×25+10×10×10所以，当9≤a＜49时，水深为 = (a+1) cm.．……………12分
40×25（3）由（2）知，当0＜a＜9时，设水深为x cm，则
10
1000x＝1000a＋100x．得x＝a（cm）． ………………17分
910
答：当0＜a＜9时，水深为a cm；当9≤a＜49时，水深为（a+1）cm；当49≤a≤50
9时，水深为50 cm． ………………18分
360?17. （2）① ·········································································································· 10分
n②证法一：依题意，知?BAD和?CAE都是正n边形的内角，AB?AD，AE?AC，
(n?2)180???BAD??CAE?
n??BAD??DAE??CAE??DAE，即?BAE??DAC．································ 11分 ?△ABE≌△ADC． ································································································· 12分 ??ABE??ADC，??ADC??ODA?180?，??ABO??ODA?180? ······· 13分
??ABO??ODA??DAB??BOC?360?，??BOC??DAB?180?
(n?2)180?360???BOC?180??DAB?180?? ············································ 14分
nn??≌△AD．C ·证法二：同上可证 △ABE································································· 12分
??ABE??ADC，如图，延长BA交CO于F，
??AFD??ABE??BOC?180?，
?AFD??ADC??DAF?180? ··································· 13分
360???BOC??DAF?180??BAD?·················· 14分
n?≌△AD．C ·证法三：同上可证 △ABE································································· 12分 ??ABE??ADC．??BOC?180??(?ABE??ABC??ACB??ACD)
??BOC?180??(?ADC??ABC??ACB??ACD)
??ABC??ACB?180???BAC，?ADC??ACD?180???DAC
···························································· 13分 ??BOC?180??(360???BAC??DAC) ·
360?即?BOC?180??BAD? ··············································································· 14分
n?≌△AD．C ·证法四：同上可证 △ABE································································· 12分
??AEB??ACD．如图，连接CE，??BEC??BOC??OCE ??AEB??AEC??BOC??ACD??ACE ??BOC??AEC??ACE． ······································· 13分
360?即?BOC?180??CAE? ·································· 14分
n?注意：此题还有其它证法，可相应评分．
18.解：l＋2＋…＋61＝1891，2008—1891＝117，由于形如ab的页码被当成ba后，加得的和数将相差9a?b，因为a,b只能在1，2，…，9中取值，a?b≤8，得9a?b≤72，由于117＝72＋45＝63＋54，设弄错的两位数是ab和cd，若9a?b=72，9c?d=45，只有ab＝19，而cd可以取l6，27，38，49；这时ab+cd的最大值是68；若9a?b=63，9c?d=54，则ab可以取18，29，而cd可以取17，28，39，ab+cd的最大值也是68． 备用题： 已知x?
设有理数x,y满足
3432，求x?12x?12x?36x?38的值。（11） 5?221?33?x?y，求xy= （4.5） 4