1dm?1 Res[f?z?,z0]?limm?1[(z?z0)mf?z?]
(m?1)!z?z0dz 特别地，若z0是f?z?的一级极点，则Res[f?z?,z0]?lim(z?z0)f?z?
z?z0 注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。 法则II 设f?z??P?z?Q?z?，P?z?,Q?z?在z0解析，P?z0??0,
Q?z0??0,Q??z0??0，则Res[P?z?Q?z?,z0]?P?z0? ?Q?z0?（十六）留数基本定理
设f?z?在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2?,zn外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
??f?z?dz?2?i?Res[f?z?,z]
cnn?1?说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f?z?在c内各孤立奇点处留数的局部问题。
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积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念
? ?
F[f(t)]??????f(t)e?jwtdt?F(w)
1??j?tF(?)ed??f(t) ???2?二、几个常用函数的傅里叶变换
F?1[F(?)]??
F[e(t)]?1
??j?1???(?) j?? F[u(t)]?? ?
F[?(t)]?1 F[1]?2??(?)
三、傅里叶变换的性质
? 位移性（时域）：F[f(t?t0)]?e? 位移性（频域）：F[ejw0t?jwt0F[f(t)]
w?w?w0f(t)]?F(w)?F(w?w0)
? 位移性推论：F[sinw0tf(t)]?? 位移性推论：F[cosw0tf(t)]?1[F(w?w0)?F(w?w0)] 2j1[F(w?w0)?F(w?w0)] 2? 微分性（时域）：F[f?(t)]?(jw)F(w) （t???,f(t)?0），
F[f(n)(t)]?(jw)nF(w)，t???,f(n?1)(t)?0
? 微分性（频域）：F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)f(t)]?Fn(n)(w)
? 相似性：F[f(at)]?1wF() (a?0) aa四、拉普拉斯变换的概念
?
L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
1kt? L[e]?；
s?k?(m?1)m!1m? L[t]?是自然数；（?(m?(1)?1,?()??,?(m?1)?m?(m)） )m?1m?1ss2
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? ? ?
1L[u(t)]?L[1]?；
sL[?(t)]?1
s 22s?ks? L[chkt]?22s?kT1? 设f(t?T)?f(t)，则L[f(t)]?（f(t)是以T为周期的周期函数） f(t)dt。
1?e?Ts?0六、拉普拉斯变换的性质
L[sinkt]?L[coskt]?? 微分性（时域）：L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)
2k,22s?kkL[shkt]?2,2s?k[?)tft]?Fs? 微分性（频域）：L(??? 积分性（时域）：L[???，L[(?t)nf?t?]?F(n)?s?
?t0f?t?dt]??F?s?s? 积分性（频域）：L[f?t?tat]??F?s?ds（收敛）
s? 位移性（时域）：L[ef?t?]?F?s?a?? 位移性（频域）：L[f?t???]?e? 相似性：L[f(at)]??s?
F?s?（??0,t?0,f(t)?0）
1s F() (a?0)aa七、卷积及卷积定理 ?
f1(t)*f2(t)??????f1(?)f2(t??)d?
? F[f1(t)?f2(t)]?F1(w)?F2(w) ? F[f1(t)?f2(t)]?1F1(w)?F2(w) 2?? L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) 八、几个积分公式
? ? ? ?
????????f(t)?(t)dt?f(0) f(t)?(t?t0)dt?f(t0)
??f(t)dt??L[f(t)]ds??F(s)ds
00t??????0??0f(t)e?ktdt?L[f(t)]s?k
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