第七节 方向导数与梯度
分布图示
★ 引例 ★ 数量场与向量场的概念 ★ 方向导数的概念 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 梯度的概念
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 梯度的运算性质及应用（例9） ★ 例10 ★ 等高线及其画法 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8—7 ★ 返回
内容要点
一、场的概念：数量场 向量场 稳定场 不稳定场 二、方向导数
?ff(x??x,y??y)?f(x,y)?lim. ?l??0? 定理1 如果函数z?f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且
?f?f?f?cos??sin?, （7.1） ?l?x?y其中?为x轴正向到方向l的转角（图8-7-2）.
?f??f?i?j. 三、梯度的概念：gradf(x,y)??x?y??f?f???f?f?f?cos??sin???,??{cos?,sin?}?gradf(x,y)?e?|gradf(x,y)|cos?, ?l?x?y??x?y?函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.
梯度运算满足以下运算法则：设u,v可微，?,?为常数，则
（1） grad(?u??v)??grad u?? grad v; （2） grad(u?v)?u grad v?v grad u; （3） gradf(u)?f?(u) grad u. 四、等高线的概念
例题选讲
方向导数
例1（E01）求函数z?xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,?1)的方向的方向导数.
??解 这里方向l即为PQ?{1,?1},
??故x轴到方向l的转角???.
4??z?e2y?x(1,0)(1,0)?1,?z?y?2xe2y(1,0)(1,0)?2,
所求方向导数
2?z???????cos????2sin?????.
442?l????
?例2 求函数f(x,y)?x?xy?y在点(1,1)沿与x轴方向夹角为?的方向射线l的方向
22导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有
(1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 解 由方向导数的计算公式知
?f?l?fx(1,1)cos??fy(1,1)sin?
(1,1)?(2x?y)(1,1)cos??(2y?x)(1,1)sin?
????cos??sin??2sin????,
4??故(1) 当??(2) 当??(3) 当??
例3（E02）求函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数.
?4时，方向导数达到最大值2;
5?时，方向导数达到最小值?2; 43?7?和??时，方向导数等于0. 44解 这里l为AB?{2,?2,1}的方向,
向量AB的方向余弦为
221cos??,cos???,cos??,
333又
?u11?u?,??2222?y?xx?y?zx?y?zyy?z22,1?u??22?zx?y?zzy?z22,
所以
?u?xA1?u?,2?y?0,A?u?zA1?. 2于是
?u?l?A12?2?111??0???????. 23?3?322??例4 求f(x,y,z)?xy?yz?zx在点(1,1,2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分
别为60℃, 45℃, 60℃.
?解 与l同向的单位向量
???121??el?{cos60?,cos45?,cos60?}??,,?.
??222??因为函数可微分,且
fx(1,1,2)?(y?z)(1,1,2)?3,
fy(1,1,2)?(x?z)(1,1,2)?3, fz(1,1,2)?(y?x)(1,1,2)?2.
故
?f?l?3?(1,1,2)1211?3??2??(5?32). 2222
?例5 设n是曲面2x2?3y2?z2?6在P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数 ?1u?(6x2?8y2)2在此处方向n的方向导数.
z1解 令F(x,y,z)?2x2?3y2?z2?6,Fxp?4xp?4,Fyp?6yp?6,Fz
p
?2zp?2,
??故 n?{Fx,Fy,Fz}?{4,6,2},|n|?42?62?22?214,
方向余弦为
cos???u?x214,cos??314?,cos??614814114.
?p6xz6x?8y22p;
?u?y?u?z?p8yz6x?8y22p?;
?p6x2?8y2z2p??14.
所以
?u??np??u?11?u?u???cos??cos??cos??. ??x??y?z7??p1x?y22
例6（E03）(1) 求grad
.
(2) 设f(x,y,z)?x2?y2?z2, 求gradf(1,?1,2).
1.
x2?y2解 (1) 这里f(x,y)?因为
?f2x2y?f??2,??, 22222?y?x(x?y)(x?y)??2x2y1??i?j. 所以 grad2x?y2(x2?y2)2(x2?y2)2(2)gradf?{fx,fy,fz}?{2x,2y,2z},于是 gradf(1,?1,2)?{2,?2,4}.
例7 求函数u?x2?2y2?3z2?3x?2y在点(1,1,2)处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?
解 由梯度计算公式得
????u??u??u?i?j?k?(2x?3)i?(4y?2)j?6zk, gradu(x,y,z)??x?y?z?????31?故gradu(1,1,2)?5i?2j?12k.在P0??,,0?处梯度为0.
?22?
例8（E04）求函数u?xy?z?xyz在点P0(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.
解 由
?u?u?u?2xy?xz,?y2?yz,?3z2?xy,得 ?y?x?z23?u?x?0,P0?u?y?1,P0?u?z?2.
P0从而gradu(P0)?{0,1,2},gradu(P0)?0?1?4?5. 于是u在点P0处沿方向{0,1,2}的方向导数最大,最大值是5.
?????例9 设f(r)为可微函数,r?|r|,r?xi?yj?zk.求gradf(r), 解 由上述公式(3)知
??r??r??r??gradf(r)?f?(r) grad r?f?(r)???xi??yj??zk??.
??因为
?rx?ry?rz?,?,?,所以 ?xr?yr?zr??r?x?y?z??gradf(r)?f?(r)?i?j?k??f?(x)??f?(x)r0.
rr?|r|?r注:利用场得概念，我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场－梯度场，它是由数量场f(M)产生的. 通常称函数f(M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场. 必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.
例10（E05）试求数量场点O与点M(x,y,z)间的距离.
??m???m?m?rmxmy??m?mz??3, 同理????3,????3. ????2?x?r??y?r?r?xrr?z?r?rm?x?y?z??m从而 grad??2?i?j?k?.
rr?rr?rm所产生的梯度场, 其中常数m?0, r?x2?y2?z2为原r解
?如果用er表示与OM同方向的单位向量,则
?x?y?z?mmer?i?j?k grad??2er.
rrrrr上式右端在力学上可解析为,位于原点O而质量为m的质点对位于点M而质量为 1
的质点的引力.该引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比,该引力的方向由点M指向原点.
课堂练习
1. 函数z?f(x,y)?x2?y2在(0,0)点处的偏导数是否存在?方向导数是否存在? 2. 求函数u?xy?yz?xz在点P(1,2,3)处沿P点的向径方向的方向导数.