Johann C. Rocholl (Rostock) Style
Delta 机器人运动学
by Steve Graves
前言
首先我要感谢Johann Rocholl所做出的贡献，虽然我们未曾谋面，但本文所写出的大部分内容都要归功于他。例如，本文所有的Rostock图都是通过他的OpenSCAD模型的修改版本生成的，他的Marlin代码也是我验证此概念的依据。然后，我要感谢他创造了现在最好的DIY 3D打印机。顺便说一句，我自己并没有delta 3D打印机，我只有一台型号非常老的cartesian打印机。这个月，我已经在迫不及待地计划为Kossel Clear（delta 3D打印机项目，由Blue Eagle Labs出资）搭建Kickstarter众筹平台。
引言
这是我对Rostock打印机中应用delta机器人的形态的分析报告，已经出版的此类分析报告我还没有看到过，但有一个叫Clavel的人在研究原始delta机器人。我意识到对Rostock进行协调转化的固件已经唾手可得，并且我在网上查找的时间如果够久，我也能够找到此种转化的一些描述，可是，我喜欢独自理解事物。我的哲学是，如果一个问题是我能够自己解决的，那么在读现成答案之前我会自己寻找答案。这种方式让我有更多启发，使我不会受已经被接受的观念所影响而产生偏见，我可以得出看待问题的不同方法而不是现有解。例如，我使用外心研究正向运动学的方法可能很独特，因为那是我自己想出来的。
一旦你解析了它，这就是一个相当简单的几何问题。那么，描述几何并定义几何公式就显得很重要了，部分的几何描述也就是建立命名规则。Delta机器人有三个导轨（Rostock打印机使用一对杆，如图1灰色部分），我们叫这些导轨A、B和C。每个列都有一个滑座（图1黄色部分）可以沿导轨上下移动，每个滑座有2个平行臂（图1蓝色部分）与运动平台（图1绿色部分）连接，每对臂长度相同，每个滑座与机器人底面的连接都是准确平行的。底面也被称为“床”（图1红色部分）。为了让臂之间平行，每个滑座和运动平台连接点的间距是相等的。
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图1
首先我发现它的一部分几何设计遵循了比例绘图器的原理。平行臂并不仅仅彼此平行，他们也使得运动平台的边缘与滑座的连接点平行，我们可以从图2机器人的俯视视角得知。因为3个滑座的连接点都是与“床”平行的，所以运动平台所在平面也肯定与“床”平面是平行的，换而言之，连接滑座与运动平台的平行臂使得平台平面与“床”平面平行了。我曾看见有人质疑平行臂，这下你知道它们为什么存在了吧。我认为，平行臂最大的好处就是使运动平台与“床”平行了。
而且因为运动平台边缘与滑座连接点平行，运动平台与滑座上相应点的间距也是一样的，所以，为方便数学处理，我们可以选择一条连接平台边缘中点和相应滑座连接中点的线，我们可以使用这条线完成大部分的计算。我们把它叫做我们的运动线，线的一端正好处于平台枢轴点中点，另一端正好处于滑座枢轴点中点，当我们提到滑座和平台，这些点就是我们所提及的。例如，滑座离“床”的高度就是“床”到相应点的距离，滑座离平台的高度就是平台与滑座相应点的垂直距离。总之，数学处理可以仅仅基于这条连接滑座与平台的运动线，因为平行臂实现了围绕这条线的几何方向。
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图2
有一些简化的假设要提出。首先，我们假设这些列构成了一个等边三角形，这不是必需的，也可以是一个不等边三角形，但是这种假设简化了数学运算，使我们可以用单一变量代表列间距，列的间距两两相等，我们叫这个变量为间距S（三角形的边）。这个假设也使我们能选择一个所有列距原点相等的坐标系，注意，这些列可以被点表示。在Rostock模型中每个列表示成的点处于2个杆的中点。
接下来，我们将假设3对臂都是相同长度，我们叫它长度L。我并不认为假设列间距相同或者臂长相同是必需的，即使列距不同或臂长不同，通过数学计算也能解决。这些不同改变了工作区域的覆盖形状，而这也许能成为机器人打印专门对象（一座房屋？）的一种优势。下个一假设是，喷头被精确安装在平台正中心。我们把运动线与平台边缘交点到平台中心的距离叫做E，喷头底部挤压点的坐标叫做X、Y和Z，平台中心点正好位于挤压点上方，它与喷头有着相同的X、Y坐标。
正如以上讨论那样，我们将测量每个滑座的高度，即运动线终止于连接点的长度。我们把每个滑座离平台的高度叫做Acz、Bcz和Ccz，把滑座离“床”的高度叫做Az、Bz和Cz，把喷头从载体底部延伸的距离叫Hcz，喷头离“床”的高度叫Z。 那么有Az=Z+Acz+Hcz，Bz=Z+Hcz，Cz=Z+Ccz+Hcz，这就使我们简化了问题。我们能从已知的X、Y平面推导出公式去掉方程里的Z，然后将平面转换到任意Z坐标。我们只需要关注Acz、Bcz和Ccz，因为它们全部与平台相关，所以我们能计算平台平面中的X、Y坐标。
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Az = Z + Acz + Hcz Bz = Z + Bcz + Hcz Cz = Z + Ccz + Hcz
Solving for Z
Z = Az - Acz - Hcz Z = Bz - Bcz - Hcz Z = Cz - Ccz - Hcz
以上结论促使我们讨论Z轴。如果有人将所有滑座向上移动同样距离，那么他会发现在几何上只改变了头部的Z坐标，所以Z坐标直接与滑座高度（Az、Bz和Cz）相关，这些同样由以上方程表现出来。对Z坐标的观察可以得知，Acz、Bcz和Ccz只取决于X、Y。接下来得讨论一下逆运动学。
逆运动学
逆运动学是软件控制打印机的方程基础。它使用给定的X、Y、Z坐标，通过计算滑座位置（Az、Bz、Cz）来使机器人运动到这些坐标上。
图3
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现在我们需要定义坐标系。我们要选择一个原点位于“床”中心的笛卡尔坐标系。我们把列A放在距原点R + Aey + Acoy的Y轴正向上，其他列在以同样距离为半径的圆上，相互成120°角，列B从上方看呈顺时针120°角，列C从列B顺时针旋转120°角或者从列A逆时针旋转120°。
臂与垂直线形成的一个直角三角形和第三条腿都位于平台平面内，观察到这些可以推导出一组重要的方程。现在我们需要理解第三条腿是如何与平台中心的X、Y点联系起来的。我的第一想法是运动线穿过平台中央，但实际上并不是，运动线是垂直于平台边缘的。因为平台边缘是平行于滑座连接点的，平台上的线在X、Y平面上处于同一方向，这是固定的矢量，我们叫它们为Ae、Be和Ce。通过我们的定义，它们全部有相同的长度而且方向由对应列的方位确定。由于矢量加法的交换性，我们可以将这些矢量从弧的末端移动到列的位置上，这使枢纽点改变到了虚拟列位置，这些兴趣点形成一个圆弧，简化了运动算法的计算量。所以从平台边缘到中心的距离将成为软件初始化时的一个常量。
图4
现在确定我们可以从通过各个机械臂所形成的直角三角形在X-Y平面垂直上升（虚拟列）和行走中获得何种公式。我们将三角形在XY平面行走的距离（效应器平台的边缘到支架轴心底下的点）称为Ad，Bd和Cd。通过使用Pythagorian定理我们得到了一下的公式：
Ad^2 + Acz^2 = L^2 Bd^2 + Bcz^2 = L^2 Cd^2 + Ccz^2 = L^2
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