第七讲 定轴转动物体的平衡
一.教学目标：
1.进一步理解力矩、力偶与力偶矩的概念。
2.能够准确把握平衡状态与平衡条件，并能够灵活的解决定轴转动物体的平衡和确定重心的位置。
二.教学重难点：
1.灵活运用力平衡与力矩平衡的知识解决定轴转动物体的平衡问题。 2.正确确定物体重心位置。
三.教学工具：
多媒体白板、录播教室
四.教学过程设计：
1力矩
力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，经常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于力臂。从转动轴到力作用线的垂直距离叫力臂。力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M?F?L，单位为“牛·米”。如图1所示，O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。
力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴的转动没有起到作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F?和平行于轴的分量
O F
L 图1
F，F对转动不起作用，这时力F的力矩为M?F??L。
通常规定，绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。
2力偶和力偶矩
一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图2中F1、F2即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到F1?F2?F，不难得到M?F?L，式中L为两力间的距离；力偶矩与所相对的轴无关。
F2 F1
r2
r1 O 图2
3有固定转轴物体的平衡条件
有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即?M?0或?M逆??M顺。
力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零（?F外?0）和合力矩为零
1
（?M?0）同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为： 对空间力学：
?F合=0；?M合=0
xyz??Fx?0???Fy?0?F?0??z?M?M?M?0 ?0?0??Fz?0?对平面（xoy平面）力系：??Mx?0自然满足；
?M?0??y?F?Fxy?0?0
?Mz?0 其中，z轴为转动轴
这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。 【例1】如图3所示，有固定转动轴O的轻板与竖直墙之间夹着一个光滑重球。在板的端点施加竖直向上的力F，使整个装置处于平衡。若缓慢使板与竖直墙的夹角θ增大(仍小于90o)，则力F及其对轴O的力距M各将如何变化？
解：以木板为研究对象，力F对轴O的力距与球对木板的正压
力N对轴的力距平衡，因此，力F对轴O的力距M的变化情况，取决于弹力N对轴O的力距变化情况，其变化规律如何呢？这就要转移以光滑
球为研究对象并应注意抓住球的重力G和半径R这两个不变的因素。设球与板接触点到轴O的距离为x，x?Rcot?2。
'G； sin?G?Rcot，L为板长。 对板，由力距平衡有：FLsin??Nx?sin?2由图4可知，板对球的弹力为：N?M?FLsin??GR2sin?2，
F?GR2Lsin?sin?2。
可见随?增大，M，F都减小。
【例2】如图5所示，一根长为L 重为G的均匀杆AB，A端顶在粗糙的竖直墙上，与墙的摩擦因数为μ；B端用一根强度足够大的绳挂在墙的C处。此时杆恰好成水平，绳的倾角为?。（1）求杆能保持水平平衡时，μ和?应满足的条件。（2）若P为杆上一点，在BP间挂任意重物都不会使杆的A端下滑，求P点的位置应在何处?
解：（1）以B为轴，根据力距平衡知识，对杆AB分析，如图所
图5
2
示。fL?GLG， f? 22LG， T? 22sin?若以A为轴，则：TLsin??G又 N?Tcos??Gcot? 2要使杆下滑，应有f?f0??N，得??tan?
（2）设P点到A的距离为x，所挂重物G。
L?G(L?X)?f'L ① 2L?MC?0； G0?GX?N'Ltan? ②
2?MB?0；G0图6
L?G(L?X)f'2另，可求得： ③ ?LN'tan?G0?GX2f'?? ④ 要使杆不下滑，需f'?f0'??N'，即N'GG代入得：tan?[0L?G(L?x)]??0L??Gx
22G0x(??tan?)?G(tan??)(tan???) ⑤ 2LG因为??tan?，所以⑤式中左端0(??tan?)?0，从而右端应不大于零；
2x否则，式中的不等式不成立，即tan??(tan???)?0
Ltan?x(tan???)?Ltan?；x?L
(tan???)G04重心的确定
物体所受重力的等效作用点叫重心。计算重心位置的方法：
①同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 ②割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
③公式法：如图7所示，在平面直角坐标系中，质量为m1和m2的A、B两质点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为：
y2 yC y1 O A x1 xC x2 图7
B C x y xC?m1x1?m2x2my?m2y2yC?11m1?m2 m1?m2
3
一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，其重心C位置由如下
公式求得：
xC??mixi?miyi?miziyC?zC??mi ?mi ?mi
R3R35和G，长度l?4R，试求系统的重心的小球，均质杆重量为2464【例3】如图8所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为位置。
解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图8所示平
行力系；其中：
Ga??G27,Gb??G864。
A 设重心位置为O，则合力为：
G2793W?G?G??G?G86464
且
a? a l C B b b? 图8
?M0(Gi)?0即：
27RGR35G(OC?3R?)?(3R??OC?G?OC?G(3R?OC)6448264
OC?0.53R 得： G(3R?OC)?当堂小练
1．如图所示，长L=4m的均匀吊桥质量m=80kg，成水平时，并未与对岸地面接触，这时
0
牵引绳与桥面成30角。质量m0=50kg的人站在桥面距轴D为1m处，用水桶打水。桶和
水的质量为m=10kg，正以v=0.2m/s的速度上升。此时牵引绳的拉力多大？
D 300 v 2．如图所示，质量为m的均匀杆与地面接触为一固定转动轴O，均匀杆的长度为L，而杆与光滑球接触点到O点距离为
L。求竖直墙对球的弹力T。 3O 4