关于拉格朗日中值定理的几点思考
摘要：从拉格朗日中值定理的证明出发，主要介绍了两种辅助函数的构造方法—
—原函数法和常数k值法，比较了两种方法及原函数法在拉格朗日中值定理中的应用。最后通过对拉格朗日中值定理结论的变式思考，总结出辅助函数方法的适用范围。
关键字：拉格朗日中值定理；辅助函数；原函数法；常数k值法；结论变式
Abstract:From the proof of Lagrange theorem of mean starting, mainly introduced
the structure -- the original function and k value method of two kinds of auxiliary function, the application of two methods are compared and the advantages and disadvantages of the original function method in the Lagrange mean value theorem in. Finally, through changed the thinking of the Lagrange mean value theorem of the conclusion, sums up the applicable scope of auxiliary function method..
key words: Lagrange mean value theorem; auxiliary function; the original function
method; kvalue method; the change type of conclusion
1.预备知识
1.1 罗尔中值定理[13]
若函数f(x)满足： (1) 在闭区间?a,b?上连续； (2) 在开区间?a,b?内可导；
在?a,b?上两端点的函数值相等,f(a)?f(b),则在区间?a,b?内至少存在一点
?(a???b),使得f'(?)?0. 1.2 拉格朗日中值定理[13]
若函数f(x)满足：
1
(1) 在闭区间?a,b?上连续； (2) 在开区间?a,b?内可导；
则在(a,b)内至少存在一点?，使得等式f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)成立， 即f'(?)?f(b)?f(a).
b?a2.拉格朗日中值定理的主要内容
2.1 构造辅助函数方法证明拉格朗日中值定理
构造辅助函数是数学解题中一种常用的重要的方法，如何构造辅助函数没有通用方法，需要根据不同类型问题去构造合适的辅助函数。构造辅助函数有做差法或求商法、形似法、参数变易法、微分方程法、常数k值法、积分法等。下面我们介绍常用的两种方法：
方法一 原函数(或微分方程)法-------统称为分离常数观点.
分析
f(b)?f(a)
b?af(b)?f(a)?f'(x) 在这里,我们令??x,得到
b?adyf(b)?f(a)?即 dxb?af(b)?f(a)dy?dx b?af(b)?f(a)y?x?C所以 b?af(b)?f(a)x?C 即f(x)?b?af'(?)?在这里我们只考虑左边,也就是取C=0
f(b)?f(a)x?0. 可得 f(x)?b?af(b)?f(a)x 再令F(x)?f(x)?b?a容易验证
F(a)?F(b)?f(a)?f(b)
所以F(x)就是所求辅助函数. 证明：
由题设可知,F(x)满足罗尔定理的前两个条件,在闭区间?a,b?上连续,且在
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开区间?a,b?内可导,又因为F(a)?F(b),则在?a,b?内至少存在一点?,使得
f(b)?f(a)?0
b?af(b)?f(a)即f'(?)?.
b?a构造辅助函数的步骤如下: F'(?)?f'(?)?(1)将欲证结论中的?换成x；
(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式(称之为易积分形式或易求解的微分方程)；
(3)用观察法、积分法求原函数或解出微分方程的解(或通解)； (4)将(3)中积出的原函数或微分方程的解(或通解)中的常数分离出来； (5)移项使等式一边为0,则另一边为所要构造的辅助函数F(x). 方法二 常数k值法. 分析
我们把拉格朗日中值定理结论f'(?)? 右端看成是一个常数,即
f(b)?f(a)
b?af(b)?f(a)?k
b?a 那么f(b)?f(a)?k(b?a) 即f(a)?ka?f(b)?kb
我们发现函数F(x)?f(x)?kx,符合F(a)?F(b)的条件,所以F(x)就是我们
所要构造的辅助函数.
证明
设F(x)?f(x)?kx,其中 k?f(b)?f(a)
b?a 有题设可知, F(a)?F(b),且辅助函数F(x)满足罗尔定理的另两个条件,所
以在?a,b?内存在一点?,使得F'(?)?f'(?)?f'(?)?f(b)?f(a)
b?a构造辅助函数的步骤如下: (1)令常数部分为k；
f(b)?f(a)?0.移项后得到
b?a(2)作恒等变形,使上述等式一端为a及f(a)构成的代数式,另一端为b及
f(b)构成的代数式；
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