A级 课时对点练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)
1．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1.b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析：y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a，∴a＝1 又点(0，b)在切线x－y＋1＝0上， ∴0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案：A
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝ ( ) A．1
1
B. 2
1C．－
2
D．－1
解析：∵y′＝2ax，∴y′|x＝1＝2a.即y＝ax2在点(1，a)处的切线斜率为2a.直线 2x－y－6 ＝0的斜率为2.
∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a＝2，解得a＝1. 答案：A
3．(2010·江西卷)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则
f′(0)＝ A．26
( )
B．29 C．212 D．215
解析：多项式函数的导数公式，重点考查学生的创新意识，综合与灵活应用所学的数 学知识、思想和方法，考虑到求导中，含有x项均取0，则f′(0)只与f(x)的一次项有 关；得a1·a2·a3·…·a8＝(a1a8)4＝212. 答案：C
π4．(2010·潍坊模拟)若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，
2
则实数a等于 A．－2
( )
B．－1 C．1 D．2
π?
解析：据已知可得f′(x)＝sin x＋xcos x，故f′??2?＝1，故由两直线的位置关系可得： a
－×1＝－1，解得a＝2. 2
答案：D
5．曲线y＝ex在点(2，ex)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )
9
A.e2 4
B．2e
2
C．e
2
e2 D. 2
解析：切线方程y－e2＝e2(x－2) 当x＝0时，y＝－e2，y＝0时，x＝1.
1e22
∴切线与坐标轴围成三角形面积为：|－e|×1＝. 22答案：D
二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 6．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3， ∴切线方程为y－1＝3(x－0)，∴y＝3x＋1. 答案：y＝3x＋1
7．如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8， 则f(5)＝________，f′(5)＝________. 解析：∵切线方程与y＝f(x)交于点P(5，y0)， ∴y0＝－5＋8＝3.
由切线的意义知f′(5)＝－1. 答案：3 －1
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知
曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：∵y＝x3－10x＋3，∴y′＝3x2－10. 由题意，设切点P的横坐标为x0，且x0＜0，
2
即3x20－10＝2，∴x0＝4，∴x0＝－2，
∴y0＝x30－10x0＋3＝15. 故点P的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 9．求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．
解：f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2， 所以所求曲线的切线方程为y＝2x.
(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，
22
则有y0＝x30－3x0＋2x0，k＝f′(x0)＝3x0－6x0＋2，①
y0又k＝＝x2－3x0＋2，②
x003y01
由①②得x0＝，k＝＝－.
2x041
∴所求曲线的切线方程为y＝－x.
4
10．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过P(2，0)，且在点P处有相同的切线，
求实数a，b，c的值． 解：∵f(x)过点(2,0)，
∴f(2)＝2×23＋a×2＝0得a＝－8. 同理，g(2)＝4b＋c＝0，∵f′(x)＝6x2－8
∴在点P 处的切线斜率为k＝f′(2)＝6×22－8＝16. 而g′(x)＝2bx，∴2b×2＝16，∴b＝4，∴c＝－4，b＝－16. 综上，a＝－8，b＝4，c＝－16.
B级 素能提升练
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 1．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为
A．1
B．2
C．－1
D．－2
( )
解析：设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋ a)，又y′＝
1
， x＋a
1
∴y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1又y0＝ln(x0＋a)，
x0＋a∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2. 答案：B
4
2．(2010·辽宁卷)已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的
e＋1
取值范围是
π
0，? A.??4?
( )
ππ?B.??4，2? π3π?C.??2，4? 3π?
D.??4，π?
－4ex
解析：tan α＝k＝y′＝x
?e＋1?2 ＝
－4
≥1x
e＋x＋22
e
－4
＝－1，∴－1≤tan α＜0. 1ex·x＋2e
3π
又∵α为倾斜角，∴≤α＜π.
4答案：D
二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
3．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
1
解析：∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，
x1
∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
x1
即a＝－5在(0，＋∞)上有解．
5x
1
∵x∈(0，＋∞)，∴－5∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．
5x答案：(－∞，0)
abc
4．设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a、b、c是两两不等的常数)，则＋＋＝
f′?a?f′?b?f′?c?
________.
解析：∵f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc，
∴f′(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)， ∴f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)， ∴＝＝
abc＋＋ f′?a?f′?b?f′?c?
abc
＋＋ ?a－b??a－c??b－a??b－c??c－a??c－b?a?b－c?－b?a－c?＋c?a－b?
＝0.
?a－b??a－c??b－c?
答案：0
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
ax－6
5．已知函数f(x)＝2的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y
x＋b
＝f(x)的解析式．
解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0， 1
知－1＋2f(－1) ＋5＝0，即f(－1)＝－2，f′(－1)＝－.
2
a?x2＋b?－2x?ax－6?
∵f′(x)＝，
?x2＋b?2－a－6??1＋b＝－2，∴?a?1＋b?＋2?－a－6?1
＝－，?2??1＋b?
2
a＝2b－4，??1
即?a?1＋b?－2?a＋6?＝－.
22??1＋b??
解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)． 所以所求的函数解析式是f(x)＝
2x－6
. x2＋3
b
6．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
x
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积 为定值，并求此定值．
7
(1)解：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
4
1b
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋2，于是2x
?
?b7?a＋4＝4，
b12a－＝，
22
??a＝1，3解得?故f(x)＝x－. x?b＝3.?
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，
33
1＋2?(x－x0)， 由f′(x)＝1＋2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝??x0?x33
1＋2?(x－x0)． 即y－(x0－)＝?x0?x0?
66
0，－?. 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为?x0??x0令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
61
－?|2x0|＝6. 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为?2?x0?故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值， 此定值为6.