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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 三、解答题 17.解：
（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin22n 16. 6 n?1?2，故
sinB?（41-cosB）
上式两边平方，整理得 17cosB-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=215 1715814得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac 171721717又S?ABC=2，则ac?
2由余弦定理及a?c?6得
b2?a2?c2?2accosB2?（a+c）?2ac(1?cosB) 1715?36?2??(1?)217?4所以b=2 18.解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”
?由题意知 P?A??P?B?CP ?P?B??C旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 （0.040?0.034?0.024?0.014?0.012）?5=0.62
故P?B?的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
6
（0.068?0.046?0.010?0.008）?5=0.66
故P?C?的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量?50kg 旧养殖法 新养殖法 K2?200??62?66?34?38?100?100?96?1042箱产量≥50kg 38 66 62 34 ?15.705
由于15.705?6.635
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为
?0.004?0.020?0.044??5?0.34?0.5，
箱产量低于55kg的直方图面积为
?0.004?0.020?0.044+0.068??5?0.68?0.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50+0.5-0.34． ≈52.35（kg）0.06819.解：
（1）取PA中点F，连结EF，BF．
因为E为PD的中点，所以EF?AD,EF=1AD,由?BAD??ABC?90?得BC∥AD，又21BC?AD
2所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形， CE∥BF． 又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB （2）
????????由已知得BA?AD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所
示的空间直角坐标系A-xyz,则
1，0)，P(0，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，3)，
7
????????PC?(1，0，?3),AB?(1，0，0)则
??????????BM?(x?1，y，z),PM?(x，y?1，z?3)
0，1)是底面ABCD的法向量，所以 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n?(0，?????cosBM,n?sin450，z(x?1)2?y2?z2?2 2即（x-1）2+y2-z2=0
?????????又M在棱PC上，设PM??PC,则
x??,y?1,z?3?3?
??2?x=1+?x=1-2????y=1(舍去)，??y=1由①，②得??6?z???z???2??
2262
???????26?26?所以M?1-,1，?，从而AM??1-,1，?
??22?22?????设m=?x0,y0,z0?是平面ABM的法向量，则
????????m?AM?0?2-2x0?2y0?即?????????m?AB?0?x0?0??6z0?0
所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n?10 5m?n?mn10 5因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解
?????????（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NP??x?x0,y?,NM??0,y0?
????由NP??????2NM得x0=x,y0?2y 2x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以??1
22因此点P的轨迹方程为x2?y2?2
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
8
????????????????OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn，
????????OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?,
????????由OP?PQ?1得-3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知m2+n2=2，故
3+3m-tn=0
????????????????所以OQ?PF?0，即OQ?PF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的
直线l过C的左焦点F. 21.解：
（1）f?x?的定义域为?0，+??
设g?x?=ax-a-lnx，则f?x?=xg?x?,f?x??0等价于g?x??0 因为g?1?=0，g?x??0,故g'?1?=0,而g'?x??a?若a=1，则g'x?=?1?1,g'?1?=a?1,得a?1 x1.当0＜x＜1时，g'?x?＜0,g?x?单调递减；当x＞1时，g'?x?＞0，g?x?x单调递增.所以x=1是g?x?的极小值点，故g?x??g?1?=0 综上，a=1
（2）由（1）知f?x??x2?x?xlnx,f'(x)?2x?2?lnx 设h?x??2x?2?lnx,则h'(x)?2???1?2??1?21x
????1?2?当x??0,?时，h'?x?＜0；当x??,+??时，h'?x?＞0，所以h?x?在?0,?单调递减，在?,+??单调递增
??1?2?又he?2＞0,h??＜0,h?1??0，所以h?x?在?0,?有唯一零点x0，在?,+??有唯一零点1，
?????1??2??1?2??1?2?且当x??0,x0?时，h?x?＞0；当x??x0,1?时，h?x?＜0，当x??1,+??时，h?x?＞0. 因为f'?x??h?x?，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'?x0??0得lnx0?2(x0?1),故f?x0?=x0(1?x0) 由x0??0,1?得f'?x0?＜1 4因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e?1??0,1?,f'e?1?0得
??f?x0?＞fe?1?e?2
所以e?2＜f?x0?＜2-2
9
??22.解：
（1）设P的极坐标为
??，????＞0?，M的极坐标为??，????＞0?，由题设知
11OP=?，OM=?1=4 cos?由OM?OP=16得C2的极坐标方程?=4cos?因此C2的直角坐标方程为x?2（2）设点B的极坐标为
B??＞0?
??2?y2?4?x?0?
B??，????＞0?,由题设知
OA=2，?B=4cos?,于是△OAB面积
S=1OA??B?sin?AOB2????4cos??sin????3?????3?2sin?2????3?2??2?当?=-
3?12时，S取得最大值2+3 所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解：（1）
?a?b??a5?b5??a?ab?ab?b??a?b??2ab?ab?a?4?ab?a?b?6556332332224?b4?
?4（2）因为
?a?b??a3?3a2b?3ab2?b33?2?3ab?a+b??2+33?a+b?42?a+b??2?3?a+b?43
所以?a+b??8，因此a+b≤2.
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