高三数学平面向量专题复习一
一、选择题：
1、下列命题中正确的是 （ ） A．若a·b = 0，则a = 0或b = 0 B．若 a·b = 0，则a ∥b
C．若a ⊥b，则a·b=（a·b）2 D．若a，b共线，则a·b=| a |2| b | 2、化简 AB＋BD－AC—CD得 （ ） A．AD B．DA C．BC D．0
3、已知⊿ABC中，A=45°，a=3，b=2，那么满足条件的⊿ABC （ ） A．有一个 B。有两个 C．不存在 D．不能确定
4.设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a=e1+λe2(λ∈R)与向量b=－(e1－2e2)共线的充要条件是
A.λ=0 B.λ=－1 C.λ=2 D.λ=－2
5、已知a ⊥b，|a| =2，| b|=3，且3a十2b与λa－b垂直，则λ等于 （ ） A．
333 B．? C．? D．1 2226、若|a| ＝3，| b|=4，（a十b）2（a十3 b）=81，则a与b的夹角是 （ ） A．30° B．60° C。90° D．120°
7、为了得到函数y= f (－2x)的图象．可以把函数y= f (1－2x)的图象按向量a进行平移，则向量a等于 （ ）
A．（l，0） B．（－l，0） C．（
11，0） D．（－，0） 228、已知O为原点，A，B点的坐标分别为（a，0），（0，a），其中常数a＞0，点P在线段AB上．且AP＝tAB（0≤t≤1），则OA2OP的最大值为 （ ） A．a B．2a C．3a D．a2
9.与a=(12，5)平行的向量为 A.(
125125125125512,?) B.(?,?) C.(,)或(?,?) D.(±,±) 1313131313131313131310.若点P在线段P1P2的延长线上，P1(4，－3)?，P2(－2，6)，且|P2|，则点P1P|=4|PP的坐标是 A.(9，94) B.(4，9) C.(－4，9) D.(4，－9)
11.若△ABC的周长为7.5 cm，且sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6，则下式成立的个数是
①a∶b∶c=4∶5∶6 ②a∶b∶c=2∶5∶6
③a=2 cm,b=2.5 cm,c=3 cm? ④A∶B∶C=4∶5∶6 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个? 12.将函数y=x2进行平移，使得到的图象与抛物线y=－x2+2x+1的两个交点关于原点对称，则平移后函数的解析式是
A.y=x2－2x+3 B.y=x2+4x－3 C.y=x2+2x－1 D.y=x2－2x－3 二、填空题：
13、点（1，3）按向量a平移得到（－1，－1），则点（0，0）按向量a平移得到点的坐标是 。
14、 己知a=(－3，－2)，b=(4，k)，若(5a－b)2(b－3a)=55，则实数k的值为 15.已知|a|=1，|b|=2，且(λa+b)⊥(2a－λb),a与b的夹角为60°,则λ=________. 16.已知以下五个命题：
①若a≠0,则a2b=0，则b=0 ②若a=0,则a2b=0 ③若a2b=a2c，(其中a、b、c均为非零向量)，则b=c ④若a、b、c均为非零向量，(a2b)2c=a2(b2c)一定成立
⑤已知a、b、c均为非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|成立的充要条件是a、b与c同向. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题：
17、如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若AB=a，AD=b，试以a，b为基底表示DE和BF． D F C
E A B 18、已知平行四边形ABCD的顶点A（?求另外两个顶点C，D的坐标．
19、求与向量a =（3，－1）， b =（1，3）的夹角相等，且模为2的向量C的坐标． 20、一缉私艇在岛B南偏东50°相距 8（6?2）n mile的A处，发现一走私船正由岛B沿方位角为10°方向以 82n mile／h的速度航行，若缉私艇要在2小时时后追上走私船，求其航速和航向．
21、如图，已知OP=(2,1),OA =(1,7),OB =(5，1)， 设X是直线OP上的一点，(其中O为坐标原点).
(1)求使XA2XB取最小值时的OX； (2)对(1)中求出的X，求∠AXB的值.
93，7），B（2，6），对角钱交点为M（3，），
22
22.已知△ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分AB所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC面积的一半，求N点的坐标。
答 案：
自测题
一、1、C 2、D 3、A 4、D 5、A
6、B 7、D 8、D 9、C 10、C 11、C 12、C 10. C 分析：∵λ=－4,
4?(?4)?(?2)=－4,
1?4?3?(?4)?6y==9,
1?4∴x=
∴P(－4,9).
11.C 分析：由正弦定理可得：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,故①、③成立.
12.C 分析：设平移向量为a=(h,k),则y=x2按a平移后为y=(x－k)2+h,设A(x1,y1)与B(－x1,－y1)是y=－x2+2x+1与y=(x－k)2+h的两个交点，可求得x1=－1,y1=－2或x1=1,y1=2.解得h=－1,k=－2，故所求的解析式是y=x2+2x－1.
二、填空题： 13、（－2，－4） 14、－10或－6 15.－1±3 分析：∵(λa+b)⊥(2a－λb)
∴(λa+b)2(2a－λb)=0
∴2λa2－λ2a2b+2a2b－λb2=0 ∴λ2+2λ－2=0, ∴λ=－1±3
16.②、⑤ 分析：(1)a2b=|a||b|cosθ=0,
∵a≠0,∴|b|cosθ=0 ∴|b|=0或cosθ=0 ②正确
③a2b=|a||b|cosθ, a2c=|a||c|cosβ,
由a2b=a2c，可得|b|cosθ=|c|cosβ,并不能推出b=c. ④(a2b)与(b2c)都是实数，a与c不一定共线. ⑤正确 三、解答题:
17、解：∵四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，∴AD=BC=2BE， ∴BE=
111111AD=b，CF=CD=BA=－AB=－a， 222222∴DE=DA+AB+BE=－AD+AB+BE= －b+a+ BF=BC+CF=AD+CF=－
11b=a－b， 221a + b 。 218、解：（利用对称点有关知识）设C（x1，y1），D (x2，y2)，则M是AC和BD的中点，
?即A、C关于M对称．B、D关于M对称，∴ 3=9?x1212 x1= 223?7?y1? y1=10 22又． 3=
2?x2 x2=4 2
2136?y2? y2=－3 ∴C，D两点的坐标为C（，10），D（4，－3）。
2222(x，y )= 3x－y ，b2c=（1，3）
，β
，则
19、解：设c=(x，y )，则a2c=(3,－1)2(x，y )= x+
3y ，设
c与a、b的夹角分别为α
cos??a?c3x?yb?cx?3y ?,,cos???|a||c||b||c|2222由已知得 x2+y2=2
3x－y= x+3y 解得x?3?1， 23?1） 23?13?1， ,y?22故C的坐标为（
（说明：处理向量a与b的夹角θ，一般有两种途径．一是利用向量的数量积求a与b
的夹角θ，二是利用向量的数量积坐标运算求a与b的夹角θ，必须注意θ的范围是0°≤θ≤180°） 20、解：设缉私艇在C处追上走私船．由题意知，在⊿ABC中，AB=8（6?2），BC=162， ∠ABC=120°，则 AC2= AB2＋BC2—2AB2BC2cosABC=[8（6?2）]2+（162）2－228（
21622（—6?2）
1）=82312。∴AC=163，由正弦定理，得2sinA=
BCsinCBA?AC162?16332?2，∴A=45°。即缉私艇应以83 n mile/ h的速度2按方 位角 355°方向航行。
21.解：(1)X是直线OP上的点，
∴向量OX与OP共线， ∴OX=tOP ∴OX=t(2,1)=(2t,t)
则有：XA?OA?OX=(1,7)－(2t,t)=(1－2t,7－t)
XB?OB?OX=(5,1)－(2t,t)=(5－2t,1－t)
∴XA2XB=(1－2t)(5－2t)+(7－t)(1－t)=5(t－2)2－8 当t=2时，XA2XB有最小值－8 此时OX=(2t,t)=(4,2)
(2)当t=2时，XA=(－3，5)，XB=(1，－1) ∴|XA|=34，|XB|=2，且XA2XB=－8 ∴cosAXB=XA?XB8|XA||XB|??34?2??41717 ∵0≤∠AXB≤π, ∴∠AXB=π－arccos41717. 22.[解] 如图10，
1S|AM|·|AN|·sin?BAC△AMN2S=|AM|·|AN|△ABC1=。|AB|·|AC|·sin?BAC|AB|·|AC|2∵M分AB的比为3，∴|AM|3|AB|=4，则由题设条件得
12=4|AN|3|AC|，∴|AN|2|AN||AC| =3，∴|AC|=2。 ?0?2?由定比分点公式得??xN?6?4,?1?2∴N(4,-8)。?3??yN?0?2?(?4)1?2??83.