新高三暑期数学竞赛辅导
专题二 三角形的垂心
性质1 设H为?ABC的垂心，则H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且垂心组的四个外接圆的圆心组成另一垂心组，于原垂心组全等）
性质2 设?ABC的三条高线为AD、BE、CF，其中D、E、F分别为垂足（以下均同），垂心为H，如图。对于点A.B.C.H.D.E.F有六祖四点共圆，且H.D.E.F可为这些圆的根心；有三组（每组四个）相似三角形，且AH?HD?BH?HE?CH?HF.
性质3在?ABC中，H为垂心，BC=a,CA=b,AB=c,R为?ABC外接圆半径，则
AH2?a2?BH2?b2?CH2?c2
性质4 设?ABC的外接圆半径为R，则
AH?2R?cosA,BH?2R?cosB,CH?2R?cosC.
性质5 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边距离的2倍
性质6 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 性质7 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。 性质8 设H为锐角?ABC的垂心，且D，E,F分别为H在BC,CA,AB边所在直线上的射影，
H1,H2,H3分别为?AEF, ?BDF, ?CDE的垂心，则?DEF≌?H1H2H3.
例一 如图，设AD,BE,CF为?ABC的三条高，D，E，F分别为垂足。自A,B,C分别作AK?EF于K,作BL?FD于L，作CN?DE于N。证明：直线AK,BL,CN相交于一点。
AFHOBDEC
例二 如图设H为?ABC的垂心，P是三角形所在平面内任一点。由H向PA,PB,PC引垂线HL，HM,HN与BC,CA，AB的延长线相交于X，Y，Z。证明：X,Y,Z三点共直线。
X
Y AF L E HM
PBDCZ例三 如图，设H为?ABC的垂心，D,E,F分别为BC,CA,AB的中点。一个以H为圆心的圆交直线DE于P,Q，交直线EF于R，S，交直线FD于T,U.证明：CP=CQ=AR=AS=BT=BU
TAQSNFEMHRBDLCP 例四 如图，设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC,BD为直径的两圆相交于X和Y,直线XY交BC于z,若P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于B及N，试证：AM，DN和XY三线共点。
UMXNABZYCD
例五 设O、H分别为锐角?ABC的外心和垂心，则S?AOH,S?BOH,S?COH中，最大的一个等于其余两个之和。
例六 设H、O分别为锐角?ABC的垂心和外心。证明：在BC、CA、AB上分别存在点D、E、F，使得OD+DH=OE+EH=OF+FH.