高二（理科）数学试题卷
第Ⅰ卷
一、选择题：
（1）复数3?4i的模是
（A）3 （B）4 （C）5 （D）7 （2）函数f(x)?sinx?cos?导数是
（A）cosx （B）?cosx?1 （C）cosx?1 （D）?cosx
（3）已知一段演绎推理：“因为指数函数y?ax是增函数，而
y?(12)x是指数函数，所以y?(1x2)是增函数”，则这段推理的
（A）大前提错误 （B）小前提错误 （C）结论正确 （D）推理形式错误
（4）从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方
法共有
（A）12种 （B）24种 （C）36种 （D）48种
（5）为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的
人，并根据调查结果计算出了随机变量K2的观测值k?6.080，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过
（A）0.001 （B）0.005 （C）0.010 （D）0.025 附表： P(K2?k0) 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.708 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（6）已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，
则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有
（A）35种 （B）38种 （C）105种 （D）630种
（7）若函数f(x)?x3?ax2?ax?2没有极值，则实数a的取值范围是
（A）[0, 3] （B）(0, 3) （C）(??, 0)?(3, ??) （D）(??, 0]?[3, ??)
（8）若Cx?22x?19?C9 ，则x? （A）?1 （B）4 （C）?1或4 （D）1或5
（9）若随机变量X~B(n,p)，其均值是80，标准差是4，则n和p的值分别是
（A）100，0.2 （B）200，0.4 （C）100，0.8（D）200，0.6 （10）下列结论中，正确的是
（A）导数为零的点一定是极值点
（B）如果在x0附近的左侧f'(x)?0，右侧f'(x)?0，那么f(x0)是极大值 （C）如果在x0附近的左侧f'(x)?0，右侧f'(x)?0，那么f(x0)是极大值 （D）如果在x0附近的左侧f'(x)?0，右侧f'(x)?0，那么f(x0)是极小值
（11）一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，
每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则P(BA)?
（A）2 （B）2 （C）1 （D）13534
（12）已知函数f(x)的导函数为f?(x)?ax2?2ax，若a?0，则函数f(x)的图像可能是 y y y y O 2 x O 2 x O 2 x O 2 x
（A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷
二、填空题：
（13）已知x∈R，若xi?x，i是虚数单位，则x?____________．
（14）若函数
f(x)?ex?x的导函数为f?(x)，则f?(2)? _____________． （15）5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m种，则m的值为_______． （16）投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.4．若连续掷
一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________． 三、解答题：解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知(x?1)9?a9871x?a2x?a3x???a9x?a10． （Ⅰ）求a2和a7的值；
（Ⅱ）求式子a1?a3???a9的值．
（18）（本小题满分12分）
在数列{a2ann}中，a1?1，且an?1=a( n?N*)． n?2（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.
（19）（本小题满分12分）
已知x??1是函数f(x)?x3?3x2?mx?10(m?R)的一个极值点．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在[?4, 3]上的最大值和最小值．
（20）（本小题满分12分）
在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 年 份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.7 3.6 3.3 4.6 5.4 5.7 6.2
对变量t与y进行相关性检验，得知t与y之间具有线性相关关系． （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）预测该地区2016年的居民人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
nti?t)(yi?y)b???(i?1?n，a??y?bt? (ti?t)2i?1
（21）（本小题满分12分）
某种证件的获取规则是：参加科目A和科目B的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目B的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是23，每次参加科目B考试的成绩为合格的概率是
12，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X.
（Ⅰ）求X的所有可能取的值； （Ⅱ）求X的分布列和数学期望．
（21）（本小题满分10分）
已知函数f(x)?52ln(x2?1)?2x.
（Ⅰ）求此函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）设g(x)?5lnx2x2?1?f(x)?2x．是否存在直线y?kx（k∈R）与函数g(x)的图象相切？若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
重庆市部分区县2014—2015学年度下期期末联考
高二（理科）数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）C （2）A （3）A （4）B （5）D （6）C
（7）A （8）B （9）C （10）B （11）D （12）D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）0 （14）e2?1 （15）72 （16）0.648
三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．
（17）（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由二项式定理，得
(x?1)9的展开式的通项是Tk9?kk?1?(?1)kC9x，
???????????????????（2分）
令k?0，3，得T0931?C9x?x9，T4?(?1)3Cx69??84x6．??????????????（4
分） ∵(x?1)9?a9871x?a2x?a3x???a9x?a10，
∴
a1?1，a4??84．??????????????????????????????（6
分）
（Ⅱ）∵(x?1)9?a91x?a2x8?a73x???a9x?a10，
∴令x?1，得(1?1)9?a1?a2?a3???a9?a10．?????????????????（8分）
令x??1，得(?1?1)9??a1?a2?a3???a9?a10．???????????????（10分）
∴(1?1)0?(?1?1)9?2a2?2a4???2a10．
∴a2?a4?a6?a8?a10??256．????????????????????????（12分）
（18）（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵a2an2a11?1，且an?1=a?2( n?N*)，∴a2?a?2?2， n1?21?232?221a2a1， ?23?a?2a33?a?4?2?2．?????????????????（62?22?22a3?212?253分）
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式为a2n?n?1（n∈N*）．???????????????（9分）[来源:学_科_网]
用数学归纳法证明如下： ①当n?1时，左边?a1，右边?21?1?1?a1，因此，左边=右边． 所
以
，
当
n?1时，
猜想成
立．?????????????????????????（10分）
②假设n?k（k?1，k∈N*）时，猜想成立，即a2k?k?1， 2?2那么n?k?1时，a2a2k?1?k?k?1ak?22?(k?1)?1.
k?1?2所以，当n?k?1时，猜想成立．????????????????????????（11分）
根
据
①
和
②
，
可
知
猜
想
成
立．??????????????????????????（12分） （19）（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵f(x)?x3?3x2?mx?10，∴f?(x)?3x2?6x?m．?????????????（3分）
∵x??1是函数f(x)?x3?3x2?mx?10(m?R)的一个极值点，
∴f?(?1)?0．∴3?(?1)2?6?(?1)?m?0．∴m?9．???????????????（6
分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知m?9．∴f(x)?x3?3x2?9x?10．??????????????（7分）
∴
f?(x)?3x2?6x?9．?????????????????????????????（8
分）
令f?(x)?0，得3x2?6x?9?0，解之，得x1??1，x2?3．????????????（9分）
列表如下： x (??, ?1) ?1 (?1, 3) 3 (3, ??) f?(x) + 0 - 0 + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
????????????????????????????????
???（10分）
∴当x??1时，f(x)取得极大值f(?1)；当x?3时，f(x)取得极小值f(3)． 而f(?4)??66，f(?1)?15，f(3)??17，且?66??17?15．
∴函数f(x)在[?4, 3]上的最大值为15，最小值为?66．??????????????（12分）
（20）（本题满分12分）[来源:学科网][来源:学科网ZXXK] 解：（Ⅰ）由已知表格的数据，得t?1?2?3?4?5?6?77?4，????????????
（2分）
y?2.7?3.6?3.3?4.6?5.4?5.7?6.27?4.5，???????????????????（3
分）
?7(ti?t)(yi?y)?(?3)?(?1.8)?(?2)?(?0.9)?(?1)?(?1.2) ?0?0.1?1?0.9?2?1.2?3?1.7
i?1?16.8，?????????????????????????
???（4分）
?7(t222)2?(?1)2?02?12?22?32i?t)?(?3)?(??28，??????????????（5
分）i?1∴
b??16.828?0.6．???????????????????????????????（6分）
∴
a??4.5?0.6?4?2.1．????????????????????????????（7分）
∴y关于t的线性回归方程是
y??0.6x?2.1．????????????????????（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知y关于t的线性回归方程是y??0.6x?2.1． 将2016年的年份代号t?9代入前面的回归方程，得y??0.6?9?2.1?7.5． 故预测该地区2016年的居民人均收入为
7.5千
元．????????????????（12分） （21）（本题满分12分）
解
：
（
Ⅰ
）
X
的
所
有
可
能
取
的
值
是
2
，
3
，
4．??????????????????????（3分）
（Ⅱ）[设Ai表示事件“参加科目A的第i（i?1，2）次考试的成绩为合格”，Bi表示事件“参加科目B的第i（i?1，2）次考试的成绩为合格”，且Ai，Bi相互独立（i?1，
2），那么
P(A21)?P(A2)?3，
P(B1)?P(B12)?2．???????????????????????????????（5分）
P(X?2)?P(A(A212241)P(B1)?P(A1)P2)?3?2?(1?3)?(1?3)?9，??????????（6
分）
P(X?3)?P(A1)P(A2)P(B1)?P(A1)P(B1)P(B2)?P(A1)P(B1)P(B2) ?(1?23)?23?12?23?(1?1121142)?2?3?(1?2)?(1?2)?9，???????????（7
分）
P(X?4)?P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)?P(A1)P(A2)P(B1)P(B2) ?(1?22112211113)?3?(1?2)?2?(1?3)?3?(1?2)?(1?2)?2?9．
?????????（8分）]
（说明：上面中括号内的解答，仅供参考，其分值可累加到下面的分布列中．）
∴X的分布列为：
X 2 3 4 p 4 4199 9 ?????????????????????????????????????（9分）
∴EX?2?49?3?49?4?19?83．
故X的数学期望为
83．?????????????????????????????（12分）
（22）（本题满分10分） 解：（Ⅰ）∵f(x)?52ln(x2?1)?2x，
∴
f?(x)?5x2x2?5x?2(2x?1)(x?2)x2?1?2??x2?1??x2?1．???????????????（2
分）[来源:学&科&网]
令f?(x)?0，得?(2x?1)(x?2)1x2?1?0，解之，得2?x?2；??????????????（3分）
令f?(x)?0，得?(2x?1)(x?2)x2?1?0，解之，得x?12，或x?2．??????????（4分）
∴函数f(x)的单调递增区间是[12, 2]，单调递减区间是(??, 12)和(2, ??)．
???????????????????????????????????????（5分）
（Ⅱ）∵f(x)?5ln(x2?1)?2x，g(x)?5x22lnx2?1?f(x)?2x， ∴g(x)?5xx2?1?52ln(x2?1)?2x?2x?52ln2lnx． ∴
g?(x)?52x．????????????????????????????????（6分）
假设存直线y?kx与函数g(x)的图象相切于点(x0, f(x0))（x0?0），[来源:Zxxk.Com] 则这条直线可以写成y?g(x0)?g?(x0)(x?x0)．??????????????????（7分）
∵g(x550)?2lnx0，g?(x0)?2x，
0∴
y?52lnx50?2x(x?x0)．???????????????????????????（80分）
即y?5552xx?lnx0?． 022∴
???k?5?2x,0???????????????????????????????（9?5??2lnx0?52?0.分）
??5解之，得?k?2e, ??x0?e.所以存在直线y?kx与函数g(x)的图象相切，
k的值是52e．????????????（10分）
注：解答题的其它解法参照本参考答案给分．