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2011江苏高考物理的热点问题——微元法
金陵中学 陈连余
【名师简介】陈连余，现任教于金陵中学，江苏省特级教师，南京市物理学科带头人，南京市物理中心组成员，带过16届高三。
微元法体现了“化变为恒”的思想。
【例1】如图所示，人牵着绳在岸上运动，而绳绕过定滑轮
v 牵着小船在水中运动。若人的运动是匀速的，则小船的运动是 （ ）
A、加速运动 B、匀速运动 C、减速运动 D、无法确定
解析：拉船模型是物理问题中的重点模型。研究方法采用了微元法，作出如图所示的微元示意图，不难得出船的位移△x与绳头的位移△x之间的关系?x??l，在较短时间△t内有cos??x?l1v??，人运动的速度v与船运动的速度V之间的关系V?。在船前进的?t?tcos?cos?过程中α在增大，所以V也增大。答案选A。
【例2】如图所示，水平光滑绝缘桌面上一质量为m的正方形导体线框以的速度运动而进入一矩形匀强磁场区域，磁场方向竖直向上，则在线框进入磁场过程中速度v随位移s变化的图可能是下图中（ ）
解析：图线问题要抓住图线的斜率。线框进入磁场后，由牛顿第二定律有，
L2vB2?vL2B2??ma?m?s??v。 ，即 ?R?tmR 所以，速度v与位移s变化图线的斜率为定值。答案选A。
【例3】如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接，两导轨间距为L，导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为S，相邻磁场区域的间距也为S，S大于L，磁场左、右两边界均与导轨垂直。现有一质量为m、电阻为r、边长为L的正方形金属框以初速度v0进入磁场区域，最终线框恰好完全通过n段磁场区域。地球表面处的重力加速度为g，感应电流的磁场可以忽略不计，求金属框完全进入第k（k＜n）段磁场区域前的时刻，金属框中的电功率．
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解：设金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度为v0，金属框在进入和穿出第一段匀
2BL2强磁场区域的过程中，线框中产生平均感应电动势为E? ....
tE2BL2平均电流强度为（不考虑电流方向变化）I??
rrt由动量定理得： ?BILt?mv1?mv0
2BL2Lt?mv1?mv0 ?Brt2B2L3?mv1?mv0 ?r2B2L3?mv2?mv1 同理可得： ?r2B2L3?mv3?mv2 ?r ……
2B2L3?0?mv0.... 整个过程累计得： ?nr2nB2L3解得：v0?.
mr金属框穿过第（k－1）个磁场区域后，由动量定理得：
2B2L3?(k?1)?mvk?1?mv0.
r金属框完全进入第k个磁场区域的过程中，由动量定理得：
B2L3??mvk/?mvk?1
r(2n?2k?1)B2L3/解得： vk?..
mr/2(BLvk)(2n?2k?1)2B6L8?功率：P?rm2r3。
【例4】（09江苏题）如图所示，两平行的光滑金属
导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“T ”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒
中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d < l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。 求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q； （2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm。
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现代快报?招考通（zkt.dsqq.cn）权威发布 版权所有?侵权必究 解析：(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W。
由动能定理 mgsin??4d?W?BIl?d，且0Q??W，
d 解得 Q?4mgdsin??BIl。
（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d，
1由动能定理 mgsin， ??2d?BIl?d0?12mv2装置在磁场中运动时收到的合力F?mgsin??F'， 感应电动势 E=Bdv
E R安培力 F'?BI'd
感应电流 I??由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有?v?F?t m?B2d2v?则??v???gsin????t
mR??2B2d3有v1?gt1sin??
mR2B2d32m(BIld?2mgdsin?)?R 解得 t1?mgsin?（3）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动。 由动能定理 mgsin xm???xm?BIlx(m?d?)，解得0BIld。
BIl?mgsin?【练习】
1、如图所示，正方形闭合导线框以速度v0在光滑绝缘水平面上匀速运动，在穿过匀强磁场区域右边界时，运动一半边长后停止，则当完全处在磁场区域内匀速运动的速度u为( )
A、v0/3 B、v0/2 C、v0 D、无法确定
2、如图所示，平行导轨MN和PQ相距0.5m，电阻可忽略，摩擦不计，其水平部分QSTN置于磁感应强度大小为0.60T、方向竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分PSTM处没有磁场，两部分平滑对接．其上搁有两根导体棒a、b，b垂直于水平导轨放置，a垂直于倾斜导轨放置。已知细导体棒a和b质量均为0.20kg，在导轨间部分的电阻均为0.15?，
a棒从斜轨上高为0.050m处无初速释放，而b棒始终被拴接在距ST线1m处不动．求：
（1）此后过程中，回路的最大电流是多少？
（2）a棒下滑后会与b棒相撞吗？请写出你的论证过程。
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答案：1、A 2、（1）a棒在没有磁场的倾斜轨道上下滑时，机械能守恒，进入水平轨道时a棒的速度vm，vm?2gh?2?10?0.050?1m/s，此时a棒速度最大，进入磁场
BLvm0.60?0.5?1切割磁感线，产生的感应电流最大，I?E?（2）不会。a棒减??1(A)。
R2r2?0.16速到零时，?BiL??t??mv0，BLq?mv0,BL＜1m。
??Lx?mv0,BL?mv0,解得x＝2/3mR总R总
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