高等数学（下册）考试试卷（五）参考答案
ax?1y?1z?1dx?(1?xez?y?x)dy2?；??一、1、；2、；3、4、 em(a?x)f(x)(a?x)dx；z?y?x?0169?11?xe 5、对任意闭曲线l，Pdx?Qdy?0或
l??P?Q或?u(x,y),使得du?Pdx?Qdy； ??y?x4 6、2?a； 7、y?ce?3x1?e2x； 8、发散 5二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A
?u?u?uzyz?1zyzyzz?1?yx?yxlnx?lny ?xyzlnx；三、1、；?x?z?y2、??u1?f1??xy?ux1??2f1??f2??yzy?uy??2f2? ?zz ?du??u?u?u1x1ydx?dy?dz?f1?dx?(?2f1??f2?)dy?2f2?dz。 ?x?y?zyzyz四、1、因为积分域D关于y?x对称，所以
I???Daf(x)?bf(y)af(y)?bf(x)d????d?
f(x)?f(y)f(y)?f(x)D1af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)[??d????d?] 2Df(x)?f(y)f(y)?f(x)D故I? = 2、I?112； (a?b)d??(a?b)?R2??2D???(x?2?y2?z2)dV?2???x(y?z?1)dV?2???yzdV
????+2???ydV?2???zdV????dV
? 因为?关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都（至少）关于某个变
量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：
I?432222?3zdV??R (x?y?z)dV?dV?????????3??? ?6?R0dz43432zdxdy??R??R(1?R2)。 ??33x2?y2?R2?z22?242?五、令P?2xy(x?y),Q??x(x?y)
4 则
?P?2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1，?y?Q??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1 ?x 由已知条件得
?Q?P，即有(x4?y2)(??1)?0，所以???1 ??x?y 所求的一个原函数为 ： u(x,y)??(x,y)2xyx2(1,0)x4?y2dx?x4?y2dy 2 ??x10dx??yx0x4?y2dy??arctanyx2 六、易知
1?x2?((1?x)3?1?x)(1?x)3?2(1?x)3?1(1?x)2 ? 又1??xn1?x(?1?x?1)
n?0 ?11?n(1?x)2?(1?x)???nx?1 n?1 1(1?x)3?(1?(1?x)2)???n(n?1)xn?2??n?2?(n?1)nxn?1 n?11?x??? ?(1?x)3??(n?1)nxn?1?nxn?1? ， 其中
n?1?n?1?n2xn?1n?1七、方程的特征方程为：r2?6r?9?0，其特征根为r1?r2?3，故方程的通解为：y?(c1?c2x)e3x
(?1?x?1)