1?2x,0?x???2设函数T(x)??
?2(1?x),1?x?1??2（1）求函数y?T(x2)和y??T(x)?的解析式；
2（2）是否存在实数a，使得T(x)+a2?T(x?a)恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）定义Tn?1(x)?Tn(T(x))，且T1(x)?T(x)，?n?N?? ① 当x?0,???1?时，求y?T4(x)的解析式； 16???i?1i?1?时(i?N?，1?i?15)，都有,??1616?已知下面正确的命题： 当x??T4(x)?T4(i8?x)恒成立.
② 若方程T4(x)?kx恰有15个不同的实数根，确定k的取值；并求这15个不同的实数根的和.
?2?2x?解：（1）函数y?T(x2)???22(1?x)???22?x??-，??22????2??2?x??-1，-，1????2??2??
函数y??T(x)?2?24x?????4(1?x)2??1??x??0,?2???1?x??,1??2??????????????4分
（2）
1?22x?a,0?x???22T(x)?a???2(1?x)?a2,1?x?1??2，
1?2x?2a,0?x?a???2T(x?a)????6分
1?2(1?x?a),?x?a?1??2则当且仅当a2?2a且a2??2a时，即a?0.
综上可知当a?0时，有T(x)?a2?T(x?a)?T(x)恒成立.?????8分 （3）① 当x?0,???1?时，对于任意的正整数j?N?，1?j?3， 16??12 都有0?2jx?分
，故有 y?T4(x)?T3(2x)?T2(22x)?T1(23x)?16x.??13
② 由①可知当x?0,???1?时，有T4(x)?16x，根据命题的结论可得， ?16?1?12??02??01??02?,?,?x?,?当x??时，??1616??1616??16,16?， 16168????????故有T4(x)?T4(?x)=16(?x)??16x?2，
8811?ii?1?,因此同理归纳得到，当x??0?i?15)时， ?(i?N，1616??4?2x?i，i是偶数?i4???????15分 T4(x)?(?1)(2x?i?)?=?422???2x?i?1，i是奇数11?2i?1??(?1)?ii?1?x?x??, i?时， 解方程T4(x)?kx得，32?(?1)2k1616??i要使方程T4(x)?kx在x??0,1?上恰有15个不同的实数根，
则必须
?2?14?1??(?1)1432?(?1)2k14??2?15?1??(?1)1532?(?1)2k?15 解得k?1615
方程的根xn??2n?1??(?1)n32?(?1)2kn(n?N，1?n?15)?????????17分
这15个不同的实数根的和为：
S?x1?x2???x14?x15
?0+2+4+6+8+10+12+1416-1615+2+4+6+8+10+12+1416+1615?22532.????18分