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考点跟踪训练2 整式及其运算
一、选择题 1．(2011·嘉兴)下列计算正确的是( )
A．x2
·x＝x3 B．x＋x＝x2
C．(x2)3＝x5 D．x6÷x3＝x2
答案 A
解析 x2·x＝x2＋1＝x3
，正确理解“同底数幂相乘”法则．
2．(2011·宁波)把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠的放在一个底面为长方形(长为m cm，宽为n cm)的盒子底部(如图②)盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是( )
A．4m cm B．4n cm
C．2(m＋n) cm D．4(m－n) cm 答案 B
解析 设小长方形卡片的长为a、宽为b，则有a＋2b＝m，m－a－2b＝0.图中较大的阴影部分(矩形)的一边为a，另一边为(n－2b)．较小的阴影部分(矩形)的一边为(m－a)，另一边为(n－a)，其周长和为2×[a＋(n－2b)＋(n－a)＋(m－a)]＝2×(2n＋m－a－2b)＝4n.
3．(2011·广州)若a
解析 因为a、b、c中有两个负数，所以abc>0. 4．(2011·邵阳)如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式是( ) A．ab B．3ab C．a D．3a 答案 C
解析 □＝3a2b÷3ab＝a. 5．(2011·湖北)将代数式x2＋4x－1化成(x＋p)2＋q的形式为( ) A．(x－2)2＋3 B．(x＋2)2－4 C．(x＋2)2－5 D．(x＋2)2＋4 答案 C
解析 x2＋4x－1＝x2＋4x＋4－5＝(x＋2)2－5. 二、填空题 6．(2011·金华)“x与y的差”用代数式可以表示为________． 答案 x－y
解析 减法运算的结果叫做“差”，按读法的顺序书写即可． 7．(2011·东莞)按下面程序计算：输入x＝3，则输出的答案是________.
答案 26
解析 根据题意，输出x3－x＋2.当x＝3时，原式＝33
－3＋2＝26. 8．(2011·杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为______． 答案 －6
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解析 化简原式，得(x＋1)(x＋8)，当x＝－7时，原式＝(－7＋1)×(－7＋8)＝－6×1＝－6.
9．(2011·荆州)已知A＝2x，B是多项式，在计算B＋A时，小马虎同学把B＋A看成了B÷A，结果得x2＋1
2
x，
则B＋A＝________.
答案 2x3＋x2＋2x
解析 因为A＝2x，B÷A＝x2＋1x，所以B＝?x2＋1
x?·2x＝2x3＋x2，故B＋A＝(2x3＋x22?2?
)＋2x＝2x3＋x2＋2x.
10．(2011·乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)
答案 n(n＋1)＋4或n2
＋n＋4
解析 第1个图形有2＋4＝(1×2＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(2×3＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(3×4＋4)个小圆，??第n个图形有[n(n＋1)＋4]个小圆．
三、解答题
11．(2011·金华)已知2x－1＝3，求代数式(x－3)2
＋2x(3＋x)－7的值． 解 由2x－1＝3得x＝2，
又(x－3)2＋2x(3＋x)－7＝x2－6x＋9＋6x＋2x2－7＝3x2
＋2， ∴当x＝2时，原式＝3×22＋2＝12＋2＝14.
12．(2011·北京)已知a2＋2ab＋b2
＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值． 解 a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b) ＝a2＋4ab－(a2－4b2) ＝4ab＋4b2.
∵ a2＋2ab＋b2＝0，即(a＋b)2
＝0， ∴ a＋b＝0，
∴ 原式＝4b(a＋b)＝0. 13．(2011·益阳)观察下列算式： ① 1 × 3－22＝3－4＝－1 ② 2 × 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1
④ __________________________ ??
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 解 (1)4×6－52＝24－25＝－1.
(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1.
(3)n(n＋2)－(n＋1)2 ＝n2＋2n－(n2
＋2n＋1) ＝n2＋2n－n2－2n－1 ＝－1. 所以一定成立． 14．(2011·凉山)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角
形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n
(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应(a＋b)2＝a2
＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应着(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2
展开式中的系数等等．
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(1)根据上面的规律，写出(a＋b)的展开式；
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(2)利用上面的规律计算：2－5×2＋10×2－10×2＋5×2－1. 解 (1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1. 15．(2011·东莞)如下数表是由从1 开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．
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(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数；
(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是______，最后一个数是________，第n行共有______个数； (3)求第n行各数之和． 解 (1)64,8,15；
(2)(n－1)2＋1，n2,2n－1；
(3)第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×13；第5行各数之和等于9×21；??类似的，第n行各数之和等于(2n－1)(n2－n＋1)＝2n3－3n2＋3n－1.
四、选做题
16．试确定a和b，使x4＋ax2－bx＋2能被x2＋3x＋2整除．
解 由于x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，因此，设x4＋ax2－bx＋2＝(x＋1)(x＋2)·M， 当x＝－1时，即1＋a＋b＋2＝0， 当x＝－2时，即16＋4a＋2b＋2＝0， ???1＋a＋b＋2＝0，?a＋b＝－3，?∴ ? ?16＋4a＋2b＋2＝0，?2a＋b＝－9，??
解方程组，得?
?a＝－6，???b＝3.
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