书海遨游十几载，今日考场见真章。从容应对不慌张，气定神闲平时样。妙手一挥锦绣成，才思敏捷无题挡。开开心心出考场，金榜题名美名扬。祝你高考凯旋！3.1.1 方程的根与函数的零点（学案）
一、学习目标
1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
二、自主学习
知识点一 函数的零点的概念 思考 函数的“零点”是一个点吗？
答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
梳理 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 知识点二 零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
1．f(x)＝x的零点是0.( √ ) 2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( × ) 3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( √ ) 4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × ) 三、合作探究
类型一 求函数的零点
例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________． 答案 x＝1或x＝10
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________． 答案 4
解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个． 类型二 判断函数的零点所在的区间 例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x 0 1 2 3 －1 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 1 2 3 4 5 x＋2
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 答案 C
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40
x
－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程e－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内． 反思与感悟 在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
2
跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________. 答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0， ∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内， ∴n＝2.
类型三 函数零点个数问题 命题角度1 判断函数零点个数
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
x
又显然f(x)＝2＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数． 故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
反思与感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
解 方法一 由于f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3＋6－6>0，即f(2)·f(3)<0，说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点． 方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．
x
由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点． 命题角度2 根据零点情况求参数范围 例4 f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 D
1?x
解析 由题意可得a＝x－??2?(x＞0)．
1?x
令g(x)＝x－??2?，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．
反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．
跟踪训练4 若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)
B．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)
51－，－? C.?2??651－，－? D.?2??6答案 D
解析 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内， f?－1?＝2＞0，??f?0?＝2m＋1＜0，
根据图象列出不等式组?f?1?＝4m＋2＜0，
??f?2?＝6m＋5＞0，
?
解得?5
m＞－，?6
1m＜－，
2
51∴－＜m＜－，
62
51－，－?. ∴实数m的取值范围是?2??6