第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四课时
整体设计
教学分析
“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具．通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神． 三维目标
1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神． 重点难点
教学重点：二倍角公式的推导及其应用．
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式． 课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．
3π
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，
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cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式． 推进新课
新知探究 提出问题
①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)
1
②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？ ④细心观察二倍角公式的结构，有什么特征呢？
⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？
⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，
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稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )＝2sin( )cos( )，cos( )＝cos( )
2
－sin( )．
⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？
⑧请思考以下问题：sin2α＝2sinα吗？cos2α＝2cosα吗？tan2α＝2tanα吗？ 活动：问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ?sin2α＝2sinαcosα(S2α)；
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cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ?cos2α＝cosα－sinα(C2α)；
tanα＋tanβ2tanα
tan(α＋β)＝?tan2α＝(T2α)． 2
1－tanαtanβ1－tanα
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教
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师适时提出问题③，点拨学生结合sinα＋cosα＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式． sin2α＝
22sinαcosα 2αcos2α＝2cosα2cos2α＝cosα－－1 2sinα 2αcos2α＝1－tan2α＝22sinα 2tan? 2α1?tan2?这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．
问题④，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角．二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．
问题⑤，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α)，(C2α)中的角α没
1ππ
有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ＋和α≠kπ＋(k∈Z)时才成立，这一
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π
条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋，k∈Z时，虽然tanα不存在，此时不能
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用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．
问题⑥，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的
αα3ααα
二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，
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