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一、公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列の定义求通项 二、累加、累乘法
1、累加法 适用于：an?1?an?f(n)
a2?a1?f(1)若an?1?an?f(n)(n?2)，则
a3?a2?f(2) an?1?an?f(n)
两边分别相加得 an?1?a1??f(n)
k?1n例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}の通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}の通项公式为an?n2。
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}の通项公式。 解法一：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1fpg
?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3
?32?31)?(n?1)?3fpg
所以an?3n?n?1.
解法二：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则
n?1，得
an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 n?1nn?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?)?32313
212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?13333331n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 3222、累乘法 适用于： an?1?f(n)an
若
an?1aa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，ana1a2a，n?1?f(n) annan?1两边分别相乘得，?a1??f(k)
a1k?1例3 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}の通项公式。
解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3
?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??2n?1[n(n?1)??3?2n?1?3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!n?1?3?5n(n?1)2所以数列{an}の通项公式为an?3?2fpg
?5n(n?1)2?n!.
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三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)
分析：通过凑配可转化为an?1??1f(n)??2[an??1f(n)]; 解题基本步骤： 1、确定f(n)
2、设等比数列?an??1f(n)?，公比为?2 3、列出关系式an?1??1f(n)??2[an??1f(n)] 4、比较系数求?1，?2
5、解得数列?an??1f(n)?の通项公式 6、解得数列?an?の通项公式
例4 已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?の通项公式。 解法一：
an?2an?1?1(n?2),
?an?1?2(an?1?1) 又
a1?1?2,??an?1?是首项为2，公比为2の等比数列
?an?1?2n，即an?2n?1 解法二：
an?2an?1?1(n?2),
?an?1?2an?1
两式相减得an?1?an?2(an?an?1)(n?2)，故数列?an?1?an?是首项为2，公比为2の等比
数列，再用累加法の……
例5 已知数列{an}满足an?1?2an?4?3n?1，a1?1，求数列?an?の通项公式。 解法一：设an?1??13n??2(an???3n?1)，比较系数得?1??4,?2?2，
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n?1则数列an?4?3是首项为a1?4?31?1??5，公比为2の等比数列，
??所以an?4?3n?1??5?2n?1，即an?4?3n?1?5?2n?1
解法二： 两边同时除以3n?1得：
an?12an4??n?2，下面解法略 n?13333注意：例6 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}の通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) 比较系数得x?3,y?10,z?18，
所以an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) 由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0，得an?3n2?10n?18?0
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18则?2，故数列{an?3n2?10n?18}为以2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比の等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
注意：形如an?2?pan?1?qan 时将an作为f(n)求解
分析：原递推式可化为an?2??an?1?(p??)(an?1??an) の形式，比较系数可求得?，数列
?an?1??an?为等比数列。
例7 已知数列{an}满足an?2?5an?1?6an,a1??1,a2?2，求数列{an}の通项公式。 解：设an?2??an?1?(5??)(an?1??an)
比较系数得???3或???2，不妨取???2，
则an?2?2an?1?3(an?1?2an)，则?an?1?2an?是首项为4，公比为3の等比数列
?an?1?2an?4?3n?1，所以an?4?3n?1?5?2n?1
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四、迭代法
3(n?1)2例8 已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}の通项公式。
n3(n?1)2解：因为an?1?an，所以
n3n?23(n?1)?23n?2an?an?[a]?1n?23(n?2)?23(n?1)?n?2 ?[an]?3n?32n?1n?2n?13(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)(n?2)?(n?1) ?a ?33(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)n?3
?(n?3)?(n?2)?(n?1) ?a13 ?a13n?1?2?3(n?2)?(n?1)?n?21?2?n?1n(n?1)?n!?22又a1?5，所以数列{an}の通项公式为an?53n?1?n!?2n(n?1)2。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列の通项公式。
五、变性转化法
1、对数变换法 适用于指数关系の递推公式
5例9 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}の通项公式。
5解：因为an?1?2?3n?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。
两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) 比较系数得， x?由lga1?
（同类型四）
lg3lg3lg2,y?? 4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0，得lgan?n???0， 416441644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2??n??}是以lg7?为首项，以5为公比の等比数列，41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1n???(lg7???)5，因此则lgan?41644164所以数列{lgan?fpg