X?20152S~?2(15)，~ t(15)。 16s/15此题中?(2)?0.9772。
??e??x, x?0111、随机变量X的概率密度f(x)?? ，则称X服从指数分布，E(X)?。
? x?0?0, 12、做假设检验时，容易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类
错误是： 取伪 错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然 增加 另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之《a， 而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为显著性检验，a称为 显著水平。 13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是：
则X的方差D(X)? 0.21 ；
X与Y的相关系数为:?XY? 3/7 。
X Y 0 1 0 1 0.4 0.3 0.3 0
二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为
0.2，0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率． 解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂，
有： p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5% 2’
B 表示取到次品，p(BA1)?0.2,P(BA2)?0.1,P(BA3)?0.3， 2’ 由贝叶斯公式：p(A1B)=p(A1)?P(BA1)（/?p(Ak)?P(BAk)?0.24 4’
k?130?x?1?ax, 三、（7分）已知随机变量X的密度函数f(x)??
, 其它?0 求：（1）常数a， （2）p(0?X?0.5)（3）X的分布函数F（x）。 解:(1)由?f(x)dx?1,得a?2 2’
???? (2) p(0.?X?1?5)=?f(x)dx??2xdx?0.25 3’
000.50.5 x?0?0 ? (3) F(x)??x2, 0?x?1 2’
?1 , 1?x??4xy, 0?x?1,0?y?1四、（7分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)??
, 其它?0 求：（1）X，Y的边缘密度，（2）由（1）判断X，Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为:
??1? 0?x?1?f(x，y)dy??04xydy?2x，fX(x)?????? 其他 ?0 5’
??1? 0?y?1?f(x，y)dx??04xydx?2y，fY(y)?????? 其他?0 (2)由(1)可见
, 可知: X，Y相互独立 2’ f（x，y）?f（?f（Xx）Yy）
五、（7分） 从总体X~N(u, ?2)中抽取容量为16的一个样本，样本均值和样本方差分别是
22X?75,S2?4， t0.975(15)?2.1315,x015)?6.26,x015)?27.5 .025(.975(求u的置信度为0.95的置信区间和?2 的置信度为0.95的置信区间。 解: (1)n=16,置信水平1???0.95,?/2?0.025,t0.025(15)?2.1315,
X?75,S2?4由此u的置信水平为0.95的置信区间为:
(75?216) 4’ ?2.1315), 即(75?1.065822(2) n=16,置信水平1???0.95,?/2?0.025,x015)?6.26,x015)?27.5 .025(.975(S2?4由此?2的置信水平为0.95的置信区间为:
(15?415?4,)?(2.182,9.585) 3’ 22?0(15)?(15).0250.975六 、（7分）设总体X~N(u，1),
为u的无偏估计。
u未知。X1,...,Xn是一个样本，求u的最大似然估计量，并证明它
解: 样本X1,...,Xn的似然函数为:
L(x1,...,xn,u)?(2?)?n/21nexp[??(xi?u)2] 2’
2k?11n而lnL(x1,...,xn,u)??n/2ln(2?)?[?(xi?u)2] 1’
2k?1d(lnL(x1,...,xn,u))n 令: ??(xi?u)?0, 1’
duk?11n1n???xi u的最大似然估量u???Xk 1’ 解得:unk?1nk?11n?)?E(?Xk)?u, 它为u的无偏估计量. E(unk?1七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知?(1)?0.8413，
?(2)?0.9772。
解:设X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X∽B(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为：L?120000?1000?X。 2‘
所以P{L?48000}?P{120000?1000?X?48000}?P{X?72} ?P{X?6410000?0.0064?0.9936?72?64}用中心极限定理 7.996 ??(1)?0.8413 3‘ 答：该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。8413
XX大学（本科）试卷（ A 卷）答案
2006-2007 学年第二学期
二. 填空题（每小题2分，共计60分）
1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.5,p(B)?0.3，则
a) 若A,B互斥，则p(A- B)? 0.5 ; b) 若A,B独立,则p(A?B)? 0.65 ; c) 若p(A?B)?0.2,则p(AB)? 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，
(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .
3、设随机变量X服从泊松分布?(?),p{X?7}?P{X?8}，则E?X?? 8 . 4、设随机变量X服从B（2，0. 8）的二项分布,则p?X?2?? 0.64 , Y服从B（8，0. 8）的二项分布, 且X与Y相互独立，则P{X?Y?1}=1- 0.210，E(X?Y)?8 。
5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比P{X?85}为 0.0228 。
,?(2)?0.9772,?(3)?0.9987. 其中标准正态分布函数值?(1)?0.84136、设二维随机向量(X,Y)的分布律是有
X 0 1 则a?_0.1_，X的数学期望E(X)?___0.4_______，Y -1 0.3 0.3 数?xy?___-0.25______。 0.3 a 1 X与Y的相关系
7、设X1,...,X16及Y1,...,Y8分别是总体N(8,16)的容量
2独立样本，X,Y分别为样本均值，S12,S2分别为样本方差。
为16，8的两个
则：X~ N(8,1) ，X?Y~ N(0,1.5) ，pX?Y?21.5= 0.0456 ，
??S121522S1~?(15)，2~ F(15,7) 。 16S2此题中?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.9987
8、设X1,.X2,X3是总体X的样本，下列的统计量中，A，B，C 是E(X)的无偏统计量，E(X)的无偏统计量中统计量 C 最有效。 A. X1?X2?X3 B. 2X1?X3 C.
1(X1?X2?X3) D. X1?X2 39. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布?(?),X1,...,X7为总体X的样本，
E(X)的矩估计量为X，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则E(X)的矩
估计值为 160
10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： H0 成立的条件下拒绝H0 的错误 ,也称为弃真错误。
?a?, 2?x???二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)??x2
?0 , 其它?求：（1）常数a， （2）p(0.5?X?4)（3）X的分布函数F（X）。 解:(1)由?f(x)dx?1,得a?2 2’
???? (2) p(0.5?X?4)=?f(x)dx??0.54422dx?0.5 2’ 2x x?2?0 ? (3) F(x)??2 2’
1- 2?x?????x?e?x, 0?x,三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：fX(x)??
, 其它?0 ?1, 0?y?1,，且随机变量X，Y相互独立。 fY(y)??0 , 其它?（1）求（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y) （2）计算概率值p?Y?2X解:(1)
X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为
?。
f（x，y）?f（?f（, Xx）Yy）?e?x, 0?x,0?y?1f(x,y)?? 2’
, 其它?0