专题03 命题与量词、基本逻辑联结词
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】 A
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
【解析】 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 【答案】 B
1
3．已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1 2条件是x∈A，则实数m的取值范围是( ) A．m≥2 C．m>2 1 【解析】 A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1 2∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A ∴m＋1>3，即m>2. 【答案】 C 4．命题：“若x2<1，则－1 - 1 - B．m≤2 D．－2 C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 【解析】 x2<1的否定为：x2≥1；－1 5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )． A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 【解析】 否命题既否定题设又否定结论，故选B. 【答案】 B 6．方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 A．0 2 ( )． B．a<1 D．0 综上所述，所求充要条件是a≤1. 法二 (排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C. 【答案】 C - 2 - 7．0＜x＜2是不等式|x＋1|＜3成立的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】 A 【解析】 由|x＋1|<3，得－4 8．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】 B B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( ) |a||b|A．a＝－b C．a＝2b 【答案】 C 【解析】 因为＝，则向量与是方向相同的单位向量，所以a与b共线同向， |a||b||a||b|即使＝成立的充分条件为C项． |a||b| 10．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若a≠－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b 【答案】 D 【解析】 命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D. 11．若α∈R，则“α＝0”是“sinα 【解析】 若α＝0，则sinα＝0，cosα＝1，所以sinα - 3 - abB．a∥b D．a∥b且|a|＝|b| abababB．若a＝－b，则|a|≠|b| D．若|a|＝|b|，则a＝－b B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．“sinα>0”是“α是第一象限角”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】 B 【解析】 由sinα>0，可得α是第一或第二象限角及y轴正半轴；若α是第一象限角，则sinα>0.所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．故选B. 13．若x，y∈R，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A．甲：xy＝0 乙：x＋y＝0 B．甲：xy＝0 乙：|x|＋|y|＝|x＋y| C．甲：xy＝0 乙：x，y至少有一个为零 x D．甲：x y【答案】 B 2 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 14．以下命题： ①“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题； ②“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题； ③“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； ④“若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c≥3”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 【答案】 ①③④ - 4 - 2 2 2 【解析】 对于④，只需证明原命题为真，∵a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)＝9. ∴a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝9，从而3(a＋b＋c)≥9，∴a＋b＋c≥3成立． 11 15．(1)“x>y>0”是“<”的________条件． xyπ (2)“tanθ≠1”是“θ≠”的________条件． 4【答案】 (1)充分不必要 (2)充分不必要 11 【解析】 (1)y>0或y xyπ (2)题目即判断θ＝是tanθ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件． 4 16．设条件p：x<1，条件q：|x|<1，条件r：－1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 17．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 ?2π?p1：|a＋b|＞1?θ∈?0，? 3?? p2：|a＋b|＞1?θ∈? ?2π，π? ? ?3? ?π?p3：|a－b|＞1?θ∈?0，? 3???π?p4：|a－b|＞1?θ∈?，π? ?3? 其中真命题的个数是____________． 1 【解析】 由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，故21?2π??2π?θ∈?0，?.当θ∈?0，?时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1， 3?3?2??1 故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜，故 2 ?π?θ∈?，π?，反之也成立，p4正确． ?3? 【答案】 2 18．若“x2>1”是“x - 5 -