????2sin?2x?? ?????????4分
4??∴f(x)的最大值为2,??5分，最小正周期为T?(2)由(1)知,f(x)?2sin?2x?2??? ???6分 2????? 4?所以f?33????,即sin?? ?????????8分 ???2sin??4282??2?3?13又?是第二象限的角,所以cos???1?sin2???1????10分 ????4?4??所以sin2??2sin?cos??2?3?13?39 ???12分 ????????4?4?861??????2分 24417解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为
∴ 年龄大于40岁的应该抽取8?1?2人. ?????????4分 4(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为?, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ?可能的取值为0,1,2. ?????????5分
02112C2C42C2C48C21则p(??0)?,, ???8分 ?p(??1)??p(??2)??222C65C615C615∴?的分布列为
? P 0 25 2 815 115 ???10分
2812?1??2?? ???12分 51515318（本小题满分14分）解: (1)取BC的中点D,连AD、OD
∴ ?的数学期望为E??0??OB?OC,则OD?BC、AD?BC,?BC?面OAD.过O点作OH?AD于H,
则OH?面ABC,OH的长就是所要求的距离.
BC?22,OD?OC2?CD2?2. ?????????3分
?OA?OB、OA?OC,?OA?平面OBC,则OA?OD.
AD?OA2?OD2?3,在直角三角形OAD中,有OH?OA?OD?2?6.?6分
AD33（另解:由V?1126S?ABC?OH?OA?OB?OC?知,OH?.) 3633
(2)连结CH并延长交AB于F,连结OF、EF.
?OC?面OAB,?OC?AB.又?OH?面ABC,?CF?AB,EF?AB,
则?EFC就是所求二面角的平面角. ?????9分 作EG?CF于G,则EG?16OH?. 26在直角三角形OAB中,OF?OA?OB2?, AB522在直角三角形OEF中,EF?OE?OF?1?43?,?????12分 556EG30307630sin?EFG??6?,?EFG?arcsin.(或表示为arccos)分 3EF18,故所求的正弦值是18 ?????1418185方法二: (1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).??2分
??设平面ABC的法向量为n1?(x,y,z), ????????????则由n1?AB知:n1?AB?2x?z?0;
??????????????由n1?AC知:n1?AC?2y?z?0.取n1?(1,1,2),??4分
??????n1?OA26则点O到面ABC的距离为d??.??6分 ???31?1?4n1????????(2) EB?(2,0,0)?(0,1,0)?(2,?1,0),AB?(2,0,0)?(0,0,1)?(2,0,?1) ??8分
???????????设平面EAB的法向量为n?(x,y,z),则由n?AB知:n?AB?2x?z?0; ???????????由n?EB知:n?EB?2x?y?0.取n?(1,2,2). ?????10分
??由(1)知平面ABC的法向量为n1?(1,1,2). ?????11分
??????n?n11?2?4776???则cos
189?636nn1结合图形可知,二面角E?AB?C的正弦值是
30 ?????14分 1819.（本题满分14分）解：（1）?数列?an?是等差数列且s5?70，
?5a1?10d?70. ①?2分
2?a2a22即(a1?6d)2?(a1?d)(a1?21d).②???4分 ?a2,a7,a22成等比数列，?a7由①，②解得a1?6,d?4或a1?14,d?0(舍去）????5分
?an?4n?2 ???6分
（2）证明;由（1）可得sn?2n2?4n， ????7分 所以1?sn1111.
?(?)2n2?4n4nn?2 ????8分
所以Tn?11111?????? s1s2s3sn?1sn?111111111111111 (?)?(?)?(?)???(?)?(?)4134244354n?1n?14nn?23111. ??(?)84n?1n?2 ????10分
?Tn?3??1(811?)?0，?Tn4n?1n?2?3. ????11分 81?Tn?1?Tn?1(1?1)?0，?数列?Tn?是递增数列，?Tn?T1?.???13分
64n?1n?3?1?T6n?3.
8 ????14分
20解：（1）设F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，
由题意,可得PF2?F1F2,即(a?c)2?b2?2c， ?????2分
整理得2(c)2?c?1?0，得c??1(舍)或c?1，所以e?1. ?????4分
aaaa22（2）由（1）知a?2c,b?3c,可得椭圆方程为3x?4y?12c.
直线PF2方程为y?3(x?c), ?????????????????5分
?3xA,B两点的坐标满足方程组??2222?4y2?12c2,消去y并整理得5x2?8cx?0,??6分
??y?3(x?c)8??x?c?x1?02? ????????8分 5?????y1??3c,?33cy2?,??58解得x1?0,x2?c,得方程组的解
5不妨设A(8c,353c),B(0,?3c),设M5的坐标为(x,y)则
?????833cAM?(x?c,y?),55?????BM?(x,y?3c)， ????10分
由y?3(x?c),得c?x??8于是????AM?(3383y?x,y?155553y. 3?????3x),BM?(x,3x) ????11分
??????????由AM?BM??2得(833833xy?x)?x?(y?)?3x??2， 15555化简得18x2?163xy?15?0， ????????????13分
22将y?18x?15代入c?x?3y得c?10x?5，
163x316x由c?0得x?0.因此,点M的轨迹方程是18x2?163xy?15?0(x?0). ?14分 21解：∵f(x)?2x的解集为(?1，2),
∴ax2?（b?2）x?c?0的解集为(?1，2), ????????1分 ∴a?0,且方程ax2?（b?2）x?c?0的两根为?1和2
a?b?2?c?0即???b?2?a，∴???4a?2b?4?c?0?c??2af(x)?ax2?(2?a)x?2a,(a?0) ??2分 （1）∵方程
f(x)?3a?0有两个相等的实根,即ax2?(2?a)x?a?0有两个相等的实根
∴??(2?a)?4a?0?3a?4a?4?0, ∴a??2或a?2222 ????3分 3 ∵a?0,∴a?2, ∴f(x)?2x2?4x?4 ????4分
3333
2?a2?8a2?(2?a)2 （2）f(x)?ax2?(2?a)x?2a?（ax?）?2a4a?8a2?(2?a)2∵a?0,∴f(x)的最小值为, ????????5分
4a222则?8a?(2?a)??3a,3a2?4a?4?0,解得?2?a?, ????7分
4a3∵a?0,∴0?a?2 ????????????8分 32（3）由y?f(x)?(x?ax?m)?0,(a?0,m?1),得(a?1)x2?2x?(2a?m)?0 (※)
①当a?1时,方程(※) 有一解x?2m?1, 2m?1； ????????9分 2函数y?f(x)?(x?ax?m)有一零点x?2②当a?1时, ??4?2a?(m?2)a?(1?m)???
22?方程(※)有一解???4?, 令?1?4m?4m?4?0 2a?(m?2)a?(1?m)?0??得m?22?2或m??22?2, ?|m|?1即m?1或m??1，
? i)当m?1，a?2?m?4m2?4m?4时，（2?m?4m2?4m?4（负根舍去）），函数a?44y?f(x)?(x2?ax?m)有一零点x?1. ?????10分 1?a4422ii) 当m??22?2时，a的两根都为正数，?当a?2?m?4m?4m?4或a?2?m?4m?4m?4时，函数y?f(x)?(x?ax?m)有一零点x?21.11分 1?aⅲ) 当?22?2?m??1时，?1?4m2?4m?4?0，???0
2③方程(※)有二解???4?2a?(m?2)a?(1?m)????0,
i)
2若m?1,?1?4m2?4m?4?0，a?2?m?4m?4m?4时,
422（a?2?m?4m?4m?4（负根舍去）），函数y?f(x)?(x?ax?m)
422?2a?(m?2)a?(1?m)???1?2a?(m?2)a?(1?m)； ?12分 有两个零点x1,2??2?4??2?a?1?a?1ii)
当m??22?2时，?1?4m2?4m?4?0，a的两根都为正数，
4m2?4m?4或2?m?4m2?4m?40?a?44?当a?2?m?时，
函数y?f(x)?(x2?ax?m)有两个零点x1,2??1?2a2?(m?2)a?(1?m)a?1。??13分
ⅲ) 当?22?2?m??1时，?1?4m2?4m?4?0，???0恒成立，
?a取大于0(a?1)的任意数，函数y?f(x)?(x2?ax?m)有两个零点
x
1,2??1?2a2?(m?2)a?(1?m) a?1 ?14分