江苏省南通中学2010—2011学年度高三第一学期中考试
数学
15．（本小题满分14分）
设集合A??x??132?2?x?22?4?，B?xx?3mx?2m?m?1?0.若A?B， ???求m的取值范围．
解：化简集合A=?x?2?x?5?，集合B可写为B??x(x?m?1)(x?2m?1)?0?．
…………………………………4分
①当B=?即m??2时，B???A；
…………………………………6分
②当B??即m??2时，
（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要B?A，
?2m?1??23只要????m?6，所以m的值不存在；
2?m?1?5（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要B?A， 只要??m?1??2?2m?1?5??1?m?2
综合，知m的取值范围是：m=-2或?1?m?2． …………………………………14分
16．（本小题满分14分）
????????o给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120. ????????（1）求|OA+OB|；
（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若
????????????OC?xOA?yOB,其中x,y?R,求x?y的最大值？
????????????解：（1）|OA+OB|=?????????OA?OB?2?????2????????????2OA?2OA?OB?OB?1?2?1?1?(?212)?1?1
…………………………………4分
（2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B?????12,3?，C?cos?,sin??． ??2?
????????????由OC?xOA?yOB,得
cos??x?y2，sin??32y．
即x?cos??33sin?,y?233sin?．则x?y????3sin??cos?=2sin????
6??????5???2?又???0,??，则????,，故当时，x?y的最大值是2．………14分 ???6?66?3?3?17．（本小题满分15分）
在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列． （1）求B的值；
（2）求2sinA?cos(A?C)的范围．
解：（1）?acosC,bcosB,ccosA成等差数列，
acosC?ccosA?2bcosB．
由正弦定理得，a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC.
?
2代入得，2RsinAcosC?2RcosAsinC?4RsinBcosB， 即：sin(A?C)?sin2B，
? sinB?sin2B．
又在?ABC中，B?2B或B?2B??．
?? 0?B??，? B?. ………………………………………………7分
3（2）?B??32，?A?C?2?3．
cAos?22?cAo?s( 2 )3 ?2sinA??1?cos2A?123coAs?(C?)?1cos2A?32sin2A?1?322sin2A?32cos2A?1?3sin(2A??3)
? 0?A?22?，??3?2A??3????12,1?3?sin(2A??3)?1．
?2sinA?cos(A?C)的范围是(?3] ……………………15分
18．（本小题满分15分）
甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x?2000． t．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y?0.002t（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ 解：(1)乙方的实际年利润为：w?2000t?st t?0．
2
2w?2000t?st??s(t?1000s)?21000s2?1000?t???时，w取得最大值． ，当
?s?2?1000?t??? (吨)． ………………7分 所以乙方取得最大年利润的年产量s?? (2)设甲方净收入为v元，则v?st?0.002t．
?1000?t???代入上式，得：v?1000 将
?s?s222?22?1000s43．
3 又
v?????255 令v??0，得s?20． sss 当s?20时，v??0；当s?20时，v??0，所以s?20时，v取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格s?20 (元／吨)时，获最大净收入．
………………15分
19．（本小题满分16分）
33332设数列{an}的各项都是正数，且对任意n?N都有a1?a2?a3???an?Sn,其中Sn为数列{an}的
?100028?100031000(8000?s)前n项和．
（1）求证：an?2Sn?an； （2）求数列{an}的通项公式；
1)（3）设bn?3?(?nn?12?2?(an?为非零整,数n?)N?试确定?的值，使得对任意n?N，都有bn?1?bn?成立．
解：（1）证明：由已知得，当n?1时,a1?a1
又?a1?0,?a1?1当n?2时a1?a2?a3???an?Sn333333332232① ②a1?a2?a3???an?1?Sn?13由①-②得an?(Sn?Sn?1)(Sn?Sn?1)?an(Sn?Sn?1) ?an?0,?an?Sn?Sn?1又Sn?1=Sn?an?an?2Sn?an当n?1时,a1?1适合上式.?an?2Sn?an222………………………………………5分
（2）解由（1）知：an?2Sn?an③
2
当n?2时,an?1?2Sn?1?an?1④由③?④得an?an?1?2(Sn?Sn?1)?an?an?1?an?an?1222
?an?an?1?0?an?an?1?1
?数列{an}是以首项为1,公差为1的等差数列?数列{an}的通项公式为an?n………………………………………9分
（3）?an?n,?bn?3?(?1)nn?1??2
n?1n要使bn?1?bn恒成立,即bn?1?bn?3n?3?(?1)??2n?1nnnn?1?(?1)n?1??2n?2?3?3?(?1)即(?1)n?1?2?0恒成立
??()23n?1恒成立3n?1①当n为奇数时,即??()恒成立2又()23n?1
的最小值为1,???13n?1②当n为偶数时,即???()恒成立23n?133又-()的最大值为-,????222即-32???1，又??0且?为整数?
????1,使得对任意n?N,都有bn?1?bn………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?loga1?mxx?1(a?0,a?1,m?1)是奇函数.
（1）当x?(n,a?2)时，函数f(x)的值域是(1,??)，求实数a与n的值； （2）令函数g?x???ax?8?x?1?a恒成立，请写出t与a的关系式．
解：（1）由已知条件得f(?x)?f(x)?0对定义域中的x均成立.
∴logamx?1?x?1?loga1?mxx?1?0.
2f?x??5，a?8时，存在最大实数t，使得x?(1,t] ?5?g?x??5
即
mx?11?mx222??1 ∴mx?1?x?1对定义域中的x均成立. ?x?1x?12∴m?1 即m?1（舍去）或m??1. ∴ m??1. f(x)?logax?1(x??1或x?1)，
x?1x?1x?1?22设t?， ??1?x?1x?1x?1∴当a?1时，f(x)在(1,??)上是减函数. 同理当0?a?1时，f(x)在(1,??)上是增函数.
?函数f(x)的定义域为(1,??)?(??,?1)，
∴①当n?a?2??1时有0?a?1. ∴f(x)在(n,a?2)为增函数， 要使值域为(1,??)，
1?n?log?1?a则?（无解）； n?1?a?2??1?②当1?n?a?2时有a?3. ∴f(x)在(n,a?2)为减函数,
?n?1?要使f(x)的值域为(1,??), 则?， a?1?1?logaa?3?∴a?2?3，n?1. ……………………………………………10分
（2）g?x???ax?8?x?1?a2f?x??5??ax?8x?3??a(x?24a)?3?216a，
则函数y?g(x)的对称轴x?4a，?a?8∴x??1???0,?. a?2?4 ∴函数y?g(x)在x??1,t?上单调减.
则1?x?t，有g(t)?g(x)?g(1).
?g(1)?11?a,又?a?8，∴g(1)?11?a?3?5.
?t是最大实数使得x??1,t?恒有?5?g(x)?5成立，
∴?at?8t?3??5即at?8t?8?0．
……………………………………………16分
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