对课本上一道习题的思考与拓展
袁炳金
（四川省射洪中学 629200）
高中数学新课标实验教材A版选修4—5习题2.3第4题： 设x,y为正实数，且x?y?1，用反证法证明：(11?1)(?1)?9。 22xy本文对此题作如下研究：
一、对原题目的求解
出于对题目解法的探讨，本文忽略原题目对解法的限制，借希望达到对知识的融会贯通、灵活运用的目的。
证法1：反证法
假设(11?1)(?1)?9，由于x,y?0，且x?y?1， x2y2111111?x2?y22xy2则(2?1)(2?1)?22?(2?2)?1??1??1??1
xyxyxyxyx2y2x2y2?2112?1?9，得?2x?1??0，显然矛盾。所以(2?1)(2?1)?9。
x?1?x?xy证法2：分析法
由于x,y?0，且x?y?1， 则(??11?1)(?1)?9?(1?x2)(1?y2)?9x2y2?1?(x2?y2)?8x2y2 22xy11。而1?x?y?2xy，即xy?成立。 44?2xy?8x2y2?xy?所以(11?1)(?1)?9得证。 22xy证法3：综合法
由于x,y?0，且x?y?1，所以
11(x?y)2(x?y)2y2?2xyx2?2xy(1?x)(1?y) (2?1)(2?1)?(?1)(?1)???xyxyx2y2x2y2?11?x?y?xy211??1，而1?x?y?2xy，即xy?。所以(2?1)(2?1)?9。
4xyxyxy证法4：三角换元法
令x?cos2?,y?sin2?。则
(1?cos4?)(1?sin4?)(1?cos2?)(1?sin2?)211???1 (2?1)(2?1)?442222cos?sin?cos?sin?cos?sin?xy?8sin22??1?9。
1111?t,y??t,t?(?,)，则 2222证法5：均值换元法 令x?11(1?(?t)2)(1?(?t)2)111122 (2?1)(2?1)?(?1)(?1)?111xy(?t)2(?t)2(?t2)2224311(?t2)2?t2(??)2?(??)1212???22424???t??（设，则）。 ????1??92212244???(?t)4证法6：综合法（调和平均数与几何平均数不等式） 由x,y?0且x?y?1即xy?21，又当a,b?0时，ab?。所以
114?ab11(2?1)(2?1)?xy2x2y2?21?x1?y21?(x2?y2)?x2y22xy?x2y2 ?2??2?x2?y2?2x2y21?2xy?2x2y22t?t21?2(t2?t?1)?1??(0?t?)令t?xy，f(t)?。由即在f(t)f(t)??0?0,?22241?2t?2t(1?2t?2t)?4?单减。故f(t)?f()?1431111，即(2?1)(2?1)?3，所以(2?1)(2?1)?9得证。 2xyxy二、对原题目的拓展
1.横向推广（对变元个数的拓展）
①若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且把①分解，于是得到②和③：
②若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且
?ai?1，则?(i?1nn1ai2?1)?(n2?1)n。
i?1?ai?1，则?(i?1nni?11?1)?(n?1)n。 ai③若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且
?ai?1，则?(i?1nni?11?1)?(n?1)n。 ai证明：我们先来证明②：因为ai?0(i?1,2,3,???,n)，且
n?ai?1ni?1，
所以
?(i?1aaaaaaaaa1?1)?(2?3?????n)(1?3?????n)???(1?2?n?1) aia1a1a1a2a2a2ananana2a3???ana1n?1?(n?1)n?1?(n?1)n?1a1a3???ana2n?1???(n?1)n?1a1a2???an?1ann?1?(n?1)n
当且仅当ai?1(i?1,2,3,???,n)时取得等号。所以命题②得证。 n再来证明③：
?(i?1naaaaaaa1?1)?(1?2?3?????n?1)(1?1?3?????n?1)???(1?aia1a1a1a2a2a2ana2a3???ana1a3???ana1a2???an?1an?1a2?(n?1)?(n?1)?(n?1)n?1n?1 n?1??????1?1)n?1n?1n?1anana1a2an1(i?1,2,3,???,n)时取得等号。所以命题③得证。 n1 由②和③等号成立的条件都是ai?(i?1,2,3,???,n)，所以自然得到①成立。
n?(n?1)n，当且仅当ai?
2.纵向拓展（对变元指数的拓展） ④若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且把④分解，从而得到⑤和⑥：
⑤若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且
nn?ai?1ni?1，则?(1?ai)?(1?2i?11n) 2n1n，则a?1(1?a)?(1?) ??iini?1i?11n，则a?1(1?a)?(1?) ??iini?1i?1nnn⑥若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且证明：先来证明⑤： 很显然当ai?则a1?1(i?1,2,3,???,n)时取得等号。不妨设a1?a2?a3?????an， n1?an。现在对ai(i?1,2,3,???,n)的大小作如下调整： n?n1?1??令a1?,ai?ai(i?2,3,???,n?1),an?a1?an?，显然有?ai?1,
nni?1????a1?an?a1?an，a1an?a1an。
?(1?a?i)则
n?(1?a)ii?1i?1n??????(1?a1)(1?an)1?(a1?an)?a1an???1，即每对ai(i?1,2,3,???,n) (1?a1)(1?an)1?(a1?an)?a1ann1调整一次?(1?ai)就会增大一次，当调整到ai?(i?1,2,3,???,n)时?(1?ai)达到最
ni?1i?1n大，所以
1n(1?a)?(1?)。 ?ini?11(i?1,2,3,???,n)从而④也nn 同理可证得⑥也成立。由于⑤和⑥取等号的条件都是ai?就得到了证明。
3.综合拓展（对条件和结论都拓展）
⑦若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且与①的证明方法方法类似。 ⑧若ai?0(i?1,2,3,???,n)，且证明：易知当ai?则a1??ai?1nni?k,k??0,1?，则?(i?1nnn?1)?()(1?k)。 2kai1nk?ai)?(?)n。 aikn1?ai?k,k??0,1?，则?(i?1ni?1k(i?1,2,3,???,n)时取得等号。不妨设a1?a2?a3?????an， nk?an。现在对ai(i?1,2,3,???,n)的大小作如下调整： n?nk?k??令a1?,ai?ai(i?2,3,???,n?1),an?a1?an?，显然有?ai?k,
nni?1且a1?an?a1?an，
??。
??a1an?a1an1?a111??1??ai)(?a1)(?an)???i?1aaan?1?则ni22221111?a?a?aa1n1n(?a1)(?an)(?ai)?a1ana1ani?1ai?(n?2?2?2?an?a1an??a1an?2
????2?21?(a1?an)?2a1an?a1an??a1an??21?(a1?an)2?2a1an?a1ana1an??22??1?(a1?an)2???a1an?2??a1an??1
1?(a1?an)2?a1an?2a1an??（因为a1?an?a1?an?t??0,k??(0,1)，1?a1an?a1an?0，
n1?t21?x在?0,1?上单减。且f(x)?）。即每对ai(i?1,2,3,???,n)调整一次?(?ai) xi?1aik就会减小一次，当调整到ai?(i?1,2,3,???,n)时
n?(i?1n1?ai)达到最小，所以ai?(i?1n1nk?ai)?(?)n。 aikn 不等式的证明往往是很多同学感觉到头痛的问题，要很好的掌握其证明方法与技巧确实不容易。所以，在平时的学习过程中要抓住手中现有的题目——特别是教材上的题目多反思、归纳、总结、延伸，以旧题创新题，以旧解拓新解。本文拓展⑤和⑧都用的是逐步调整法，教材在排序不等式的证明过程中用的就是这种方法，解决具有对称性的多变元的不等式的证明和具有对称性的多变元的最值问题时，用这种方法有时可能得到意想不到的效果。