由勾股定理可得OQ=n+222=（n﹣）+4， 22所以当（n﹣）=0即n﹣=0时，OQ有最小值4， 又因为OQ为正值，所以OQ与OQ同时取得最小值， 所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=， 所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分） 此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用． 2点评： 8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．
考点： 专题： 分析： 二次函数综合题。 动点型。 （1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE． （2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值． （1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示． ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， △AGP和△PFC都是等腰直角三角形． ∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度． 又∵PB=PE， ∴BF=FE， ∴GP=FE， ∴△EFP≌△PGD（SAS）． ∴PE=PD． ②∴∠1=∠2． ∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度． ∴∠DPE=90度． 解答： 11
∴PE⊥PD． （2）解：①∵AP=x， ∴BF=PG=，PF=1﹣x×（1﹣x．（0＜x＜x=﹣（x﹣． x）=﹣x+）． ）+ 22∴S△PBE=BF?PF=即y=﹣x+②y=﹣x+∵a=﹣＜0， ∴当x=22x． 时，y最大值=． 点评： 本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键． 9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（1）求k1、k2的值． （2）直接写出
时x的取值范围；
（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
考点： 专题： 分析： 反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数k的几何意义。 综合题。 （1）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式求得a的值，再把点A，B代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值． （2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，故可直接写出范围． （3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是 12
12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE． 解答： 解：（1）由题意知k2=1×6=6 ∴反比例函数的解析式为y=（x＞0） ∵x＞0， ∴反比例函数的图象只在第一象限， 又∵B（a，3）在y=的图象上， ∴a=2， ∴B（2，3） ∵直线y=k1x+b过A（1，6），B（2，3）两点 ∴ ∴ 故k1的值为﹣3，k2的值为6； （2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0， 即直线的函数值大于反比例函数值， 由图象可知，此时1＜x＜2， 则x的取值范围为1＜x＜2； （3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE． 设点P的坐标为（m，n），过B作BF⊥x轴， ∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3）， ∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2 ∴S梯形OBCD=∴m=4，又mn=6 ∴n=，即PE=CE ∴PC=PE． 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键． ，即12= 点评：
13
10．（10分）（2007?福州）如图，已知直线y=x与双曲线（1）求k的值； （2）若双曲线
上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为
交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
考点： 专题： 分析： 反比例函数综合题。 综合题；压轴题。 （1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值； （2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）； （3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标． 解：（1）∵点A横坐标为4， 解答： 把x=4代入y=x中 得y=2， ∴A（4，2）， ∵点A是直线y=x与双曲线（k＞0）的交点， ∴k=4×2=8； （2）解法一：如图， ∵点C在双曲线上， 当y=8时，x=1， ∴点C的坐标为（1，8）． 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON． ∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4． ∴S△AOC=S矩形ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15； 解法二：如图， 过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线当y=8时，x=1，
14
上，
∴点C的坐标为（1，8）． ∵点C、A都在双曲线上， ∴S△COE=S△AOF=4， ∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF． ∴S△COA=S梯形CEFA． ∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15， ∴S△COA=15； （3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴OP=OQ，OA=OB， ∴四边形APBQ是平行四边形， ∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6， 设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4）， 得P（m，）， 过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴S△POE=S△AOF=4， 若0＜m＜4，如图， ∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF， ∴S梯形PEFA=S△POA=6． ∴（2+）?（4﹣m）=6． ∴m1=2，m2=﹣8（舍去）， ∴P（2，4）； 若m＞4，如图， ∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE， ∴S梯形PEFA=S△POA=6． ∴（2+）?（m﹣4）=6， 解得m1=8，m2=﹣2（舍去）， ∴P（8，1）． ∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）． 15
点评： 本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解． 16