2017北京四中高三（上）期中
数 学（理）
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题
1．已知集合A?{x?Z(x?2)(x?1)?0}，B?{?2,?1}，那么AUB等于
A．{?2,?1,0,1} B．{?2,?1,0} C．{?2,?1} D．{?1}
2．若tan??0，则
A．sin??0
3．已知向量a,b满足a?2b=0，(a?b)?b=2，则|b|?
A.
B．cos??0 C．sin2??0 D．cos2??0
1 B. 1 C. 2 D.2 21.13.14．设a?log37，b?2，c?0.8，则
A．b?a?c B．c?a?b C．c?b?a D．a?c?b
5．已知a?(1,x?1),b?(x?1,3)，则x?2是a?b的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
6．函数y?f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以为
D．既不充分也不必要条件
y
1132 A. f(x)??x B. f(x)??x
xx11f(x)??ex D. f(x)??lnx C.
xx
O x 第6题图 ?x?3?,若z?ax?y的最大值为3a?9，最小值为3a?3，则实数a的取值范围是 7．实数x,y满足?x?y?0?x?y?6?0?A. [?1,0] B. [0,1] C. [?1,1] D. (??,?1]?[1,??)
8．设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意x?D，都有f(x?m)?f(x)，则称f(x)为D
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上的“m型增函数”．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x?a?a(a?R)．若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是
A．a?0 B．a?5 C．a?10 D．a?20
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
?x3,x?69. 若函数f(x)??，则f(f(2))等于___________.
?log2x,x?6
????????10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(?2,k)，若向量OA?AB，则实数
k?___________.
11. 已知函数f(x)=sin(?x+?)(?>0,?
12. 已知正数x,y满足x?y?1，则
14?的最小值是___________. xy第11题图
??x2?6x?e2?5e?2,x?e,13.已知函数f(x)??（其中e为自然对数的底数，且e?2.718），若
x?e?x?2lnx,f(6?a2)?f(a)，则实数a的取值范围是___________.
14．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数?(x)组成的集合：对于函数?(x)，存在一个正数M，使得函数?(x)的值域包含于区间[?M,M]．例如，当?1(x)?x，?2(x)?sinx时，?1(x)?A，
3?2(x)?B. 现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)?A”的充要条件是“?b?R,?a?D,f(a)?b”； ②若函数f(x)?B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)?A,g(x)?B，则f(x)?g(x)?B； ④若函数f(x)?aln(x?2)?出所有真命题的序号）
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x(x??2,a?R)有最大值，则f(x)?B.其中的真命题有___________. （写x2?1三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）
已知集合A?{x|x2?10x?21?0}, B?{x|1?log2x?log210},C?{x|2x?2a}.
（Ⅰ）求(eRA)?B；
（Ⅱ）已知p:x?A，q:x?C，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.
16.（本小题满分13分）
在锐角?ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，已知b?5，sinA?7，?ABC的面积4S?ABC?157. 4（Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求sinC的值.
17.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?2(3cosx?sinx)sinx,x?R. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数f(x)在?0,
18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?alnx????上的最大值与最小值. ??4?1，a?R． x（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a?1时，试问曲线y?f(x)与直线y?2x?3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
19.（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x2?(a?2)x?alnx (a为实常数). （Ⅰ）若a??2，求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程；
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（Ⅱ）讨论函数f(x)在[1,e]上的单调性；
（Ⅲ）若存在x?1,e，使得f(x)?0成立，求实数a的取值范围.
20.（本小题满分14分）
设f?x?是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x1,x2（x1?x2），恒有
??2?12?1f?x1?x2??f?x1??f?x2?，则称f?x?为定义在D上的C函数．
3?33?3（Ⅰ）试判断函数f?x??x是否为定义域上的C函数，并说明理由；
2（Ⅱ）若函数f?x?是R上的奇函数，试证明f?x?不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f?x?是定义在D上的函数，若对任何实数??[0,1]以及D中的任意两数x1,x2（x1?x2），恒有
f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?，则称f?x?为定义在D上的π函数. 已知f?x?是R上的π函数，
m是给定的正整数，设an?f?n?,n?0,1,2,L,m，且a0?0,am?2m，记Sf?a1?a2?L?am. 对于满足条件
的任意函数f?x?，试求Sf的最大值.
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数学试题答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 答案 题号 答案 9 3 12 9 10 4 13 11 ?=2，?=14 ①③④ ? 3(?3,2)
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题满分13分）
已知集合A?{x|x2?10x?21?0}, B?{x|1?log2x?log210},C?{x|2x?2a}. （1）求（?RA)?B；
（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求a的取值范围.
解：（1）A?{x|3?x?7}, B?{x|2?x?10},C?{x|x?a}.?..?.?3分 ?RA?{x|x?3或x?7}, ?....??..?.?6分 （?RA)?B?{x|2?x?3或7?x?10}. ?....??..?.?8分
(2) p是q的充分不必要条件，则A?C， ?....??..?.?11分 所以a≥7，即的取值范围是[7,??).....??..?.?13分
16. 在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，b?5，sinA?（1）求c的值； （2）求sinC的值. 解：（I）由S?ABC?1577，△ABC的面积S?ABC?.
441157bcsinA?， ?....??..?.?2分 24可得，c?6. ?????..?.?.4分
37cosA?（II）由锐角△ABC中sinA?可得.????...??.....6分
44由余弦定理可得：a?b?c?2bc?cosA?25?36?60?2223?16， ??.. ?.??.9分 4由正弦定理：
ca?， ???....??.10分 sinCsinA6?74?37 ..............13分 48 5 / 9
即sinC?csinA?a