珠海市2010—2011学年度第一学期学生学业质量监测
高三理科数学试题和答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(集合) 已知集合A={x|x2-2x-3<0}, 集合B?{x|2x?1?1}，则CBA?
A．[3,??) B．(3,??) C．(??,?1]?[3,??) D．(??,?1)?(3,??) 2．(函数) 下列函数中，既是偶函数又在?0,???上单调递增的是（ ）
A. y?x3 B. y?lnx C. y?1x2 D. y?cosx
3．(直线与平面) 已知?、?、?是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A．若???,l??，则l//? B．若l上有两个点到?的距离相等，则l//? C．若l??,l//?，则??? D．若???,???，则??? 4．(等比数列)若lgx?lgx2???lgx9?lgx10?110，则lgx?lg2x???lg9x?lg10x的值是
A．1022 B．1024 C．2046
D．2048
5. (三角求值)已知tan(???4)?2，则cos2?=
A．?35 B．35 C． ?445 D．5
6．（概率与统计）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右图：根据上图可得这
100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是 A．20 B．30 C．40 D．50
7．（逻辑）下列命题错误的是
A．命题“若lgx?0，则x?1”的逆否命题为“若x?1，则lgx?0”
B．若p?q为假命题，则p,q均为假命题
C．命题p:?x?R，使得sinx?1，则?p:?x?R，均有sinx?1 D．“x?2”是“1x?12”的充分不必要条件
8．(直线与圆)圆C关于直线l:x?2y?1?0对称且圆心在x轴上，圆C与y轴相切，则圆C的方程为 A．(x?1)2?y2?1 B．(x?1)2?y2?1 C．x2?(y?1)2?1124 D．x2?(y?212)?4 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全
答的，只计算前一题得分． 9．（平面向量）已知△ABC，D为AB边上一点，若
???AD??2???DB?,???CD??1???3CA??????CB?,则?? ． 10．（函数）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?3)?f(x?2)，且f(1)?2，则
f(2011)?f(2010)= ．
开始 以双曲线x2y211．4?5?1的顶点和焦点分别作焦点和两个顶点的椭圆标准方程
是 ．
是 12．若右图框图所给程序运行的结果为S=360，那么判断框中应填入 的关于k的判
断条件是K< ?（填自然数）
s=s×k 输出s 13. 已知?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c且
k=k-1 结束 a?2,cosB?45，b?3，则sinA? 。 14．（坐标系与参数方程选做题）若P(2,?1)为曲线??x?1?5cos?（0???2π）的弦的中点，则该弦所在直
?y?5sin?线的倾斜角为_____________． 15．（几何证明选讲选做题）
如右图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF//BC，
若AD=12，BC=20，则EF= .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
f(x)?3cos2?x?sin?xcos?x，其中??0，
且f(x)的图像在y轴右侧第一个最高点的横坐标为?6， （Ⅰ）求f(x)的解析式；
（Ⅱ）写出f(x)的单调递减区间（只写结果不用写出步骤）； （Ⅲ）由y?sinx的图象，经过怎样的变换，可以得到f(x)的图象？
17．（本小题满分12分）（
某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m处击中目标的概率为12，他的命中率与其距目标距离的平方成反比，且各次射击是否击中目标是相互独立的．
（Ⅰ）分别求这名射手在150m处、200m处的命中率；
（Ⅱ）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
18.（本小题满分14分）
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD?平面ABCD，NB?平面ABCD，且MD?NB?1,
（1）以向量???AB?方向为侧视方向，侧视图是什么形状？
M（2）求证：CN//平面AMD； N（3）（理）求面AMN与面NBC所成二面角的余弦值. DC
AB19.（本小题满分14分）
已知直线l:y?x?1与曲线C:x2y2a2?b2?1(a?0,b?0)交于不同的两点A,B，O为坐标原点．
（Ⅰ）若|OA|?|OB|，求证：曲线C是一个圆；
（Ⅱ）若OA?OB，当a?b且a?[62,102]时，求曲线C的离心率e的取值范围．
20.（本小题满分14分）
某地区预计从2011年初开始的第x月，商品A的价格f(x)?12(x2?12x?69)（ x?N,x?12，价格单位：元），且第x月该商品的销售量g(x)?x?12（单位：万件）.（1）2011年的最低价
格是多少？（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？
21. （本小题满分14分）
已知函数f(x)的图象经过点(1,?)，且对任意x?R，都有f(x?1)?f(x)?2.数列?an?满足
a??2n1???2,an?1?,n为奇数f(an为偶数. ?n),（1）当x为正整数时，求f(n)的表达式； （2）设??3，求a1?a2?a3???a2n；
（3）若对任意n?N*，总有anan?1?an?1an?2，求实数?的取值范围.
参考答案
选择：ABCCDCBB 填空：9：
23 10：2 11：x2y29?5?1 12：3 13：25 14：45度或45°或?4 15：15
16：解: （Ⅰ）．f(x)?3cos2?x?sin?xcos?x?3?1?cos2?x2?12sin2?x??1分?sin(2?x??33)?2???????????????????????????2分 ∵f(x)的图像在y轴右侧第一个最高点的横坐标为?6
∴2??6????13?2，解得??2?????????????????????3分
∴f(x)?sin(x??33)?2???????????????????????4分
（Ⅱ）．f(x)的单减区间是(2k???6，2k??7?6)，k?Z????????8分 （Ⅲ）将y?sinx向左平移
?3个单位，纵坐标不变；?????????10分 再向上平移32个单位，横坐标不变，就得到f(x)的图象。??????12分
17：解：⑴由题意,这名选手距目标xm处的命中率Px?kx2， ?p1100?2，?k?5000，??????2分 ?p150?50002500011502?9,p200?2002?8 即这名射手在150m处、200m处的命中率分别为29,18。 ?????5分 ⑵由题意??{6,3,1,0}，?????6分
记100m,150m,200m处命中目标分别为事件A,B,C 由⑴知P(??6)?P(A)?12， P(??3)?P(A?B)?P(A)?P(B)?12?29?19，?????7分 P(??1)?P(A?B?C)?17172?9?8?144，?????8分
P(??0)?1?P(??6)?P(??3)?P(??1)?49144，?????9分
所以随机变量?的分布列为
? 6 3 1 0 P 1 174929 144 144 10分
E??6?1172?3?9?1?144?0?49144?487144 ?????12分 18：【解析】（1）因为MD?平面ABCD，NB?平面ABCD， BC?MD?NB，所以侧视图是正方形及其两条对角线；(4分)
（2）?ABCD是正方形，BC//AD,?BC//平面AMD；(5分)
又MD?平面ABCD，NB?平面ABCD，?MD//NB,?NB//平面AMD，(6分)
所以平面BNC//平面AMD，故CN//平面AMD；(8分)
（理科）以D为坐标原点，DA，DC，DM分别为x，y，z轴建立图示空间直角坐标系，则：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0). N (1,1,1), M (0,0,1),
AM?????(?1,0,1)???????,AM?(0,1,1),AB?(0,1,0)(9分)
?设平面AMN的一个法向量为n?(x,y,z),由????????AM??????n?0得: ???AN?n??0?x?z?0?y?z?0(10分) ?M令z=1得: n?(1,?1,1). N???易知:
AB?(0,1,0)是平面NBC的一个法向量. (12分)
Dcos???AB,n???13C3??3(13分) AOB∴面AMN与面NBC所成二面角的余弦值为
33(14分) 19：（Ⅰ）证明：设直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
?|OA|?|OB|
∴
x222221?y1?x2?y2 即：x21?y1?x222?y2
∴x2x2221?2?y2?y1 --------2分
?A,B在C上
2222∴x1yxy2a2?1b2?1，2a2?b2?1 ∴两式相减得：x22?a2221?x2b2(y2?y1) ----------------4分 ∴a2b 即：a2?b22?1 ---------------5分 ∴曲线C是一个圆 ----------------6分 l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
?a?b?0
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆 ----------7分 ?OA?OB ∴
y1x?y2??1 即：y1y2??x1x2 ----------8分 1x2将y?x?1代入b2x2?a2y2?a2b2?0整理得：
(b2?a2)x2?2a2x?a2?a2b2?0
x2a2a2(1?b2∴)1?x2??a2?b2，x1?x2?a2?b2 ---------------10分?A,B在l上 ∴y1?y2?(x1?1)(x2?1)?x1?x2?x1?x2?1
又?y1y2??x1x2 ∴2x1?x2?x1?x2?1?0
a2 ∴2?(1?b2)2a2a2?b2?(?a2?b2)?1?0 ∴a2?b2?2a2b2?0
∴a2?a2?c2?2a2(a2?c2)?0 ∴2a4?2a2?c2?2a2c2?0
∴c2?2a2(a2 ?1)2a2?1
∴e2?c22(a2?1)a2?2a2?1?1?12a2?1 ---------------12分 ?a?[62,102] ∴2a2?1?[2,4] ∴1?1132a2?1?[2,4]
e?[22,32] ------------14分 20：【解析】（1）?f(x)?12[(x?6)2?33],?当x?6时，f(x)取得最小值， 即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；?????????4分
（2）设第x月的销售收入为y（万元），依题意有
y?12(x2?12x?69)(x?12)?12(x3?75x?828)，?????????6分 ?y??12(3x2?75)?32(x?5)(x?5)，??????????????7分
所以当1?x?5时y??0，y递减；????????????????9分 当5?x?12时y??0，y递增，?????????????????11分 所以当x?5时，y最小，即第5个月销售收入最少. ????????13分 答：2011年在第5月的销售收入最低. ???????????????14分
（Ⅱ）设直线 21：【解析】（1）记bn?f(n)，由f(x?1)?f(x)?2有bn?1?bn?2对任意n?N都成立， 又b1?f(1)??，所以数列?bn?为首项为?公差为2的等差数列，???2分 故bn?2n???2，
即f(n)?2n???2.???????????????????????????4分 （2）由题设??3
若n为偶数，则an?2n?1;?????????????????????5分 若n为奇数且n?3，则an?f(an?1)?2an?1???2?2?2n?2???2?2n?1???2，
*∵2???2单增∴4???2?0
即???2???????????????????????????13分 故?的取值范围为(?2,??).???????????????????14分 1
n?2n?1?1????????????????6分
又a1???2?1，
1??n?1即an??2?1?2n?1?n?1n为奇数且n?3
n为偶数a1?a2?a3???a2n?(a1?a3???a2n?1)?(a2?a4???a2n)
?(20?22???22n?2?n?1)?(21?23???22n?1) ?(1?21?22???22n?1)?n?1 ?2（3）当n为奇数且n?3时，
2n?n?2.????????????9分
an?1an?2?anan?1?an?1(an?2?an)?2n[2n?1???2?(2n?1???2)]
?3?22n?1?0；???????10分
当n为偶数时，an?1an?2?anan?1?an?1(an?2?an)?(2n???2)(2n?1?2n?1)] ?3?2nn?1(2n???2)，?????11分
因为anan?1?an?1an?2，所以2???2?0，??????????12分
?n为偶数，?n?2，