3.2 一般形式的柯西不等式
教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；
培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。
教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。 教学过程： 一、
温故
1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,d?R,则
?a2?b2??c2?d2???ac?bd?，当且仅当bc?ad时取等号
22、变式：若a,b,c,d?R,则a2?b2c2?d2?ac?bd
?a2?b2??c2?d2??ac?bd
显然当a2?b2?1,c2?d2?1时，ac?bd?1
????????????3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设?,?是两个向量，则??????
????????当且仅当?,?中有一个是零向量或存在实数k使得??k?时，等号成立。 4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设x1,x2,x3,y1,y2,y3?R，那么
22x12?y12?x2?y2?22?x1?x2???y1?y2? 22?x1?x3???y1?y3??5、配凑的思想
?x2?x3???y2?y3??22?x1?x2???y1?y2?
22二、 新课：推广柯西不等式
????????????1、由柯西不等式的向量形式：设?,?是两个向量，则??????
????????这里?,?是平面向量，若?,?为空间向量呢，
????构造向量???a1,a2,a3?,???b1,b2,b3?,设?,?间的夹角为?，
????????????????则仍有??????cos????????
????即a1b1?a2b2?a3b3??a21?a32?a32??b12?b22?b32? 2所以?a12?a32?a32??b12?b22?b32???a1b1?a2b2?a3b3?
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当且仅当ai?kbi?i?1,2,3?时取等号 2、归纳推理：n维上的柯西不等式：
?a12?a32???an2??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2??anbn?
2证明：回顾前面的证法
视A?a12?a32???an2,C?b12?b22???bn2,B?a1b1?a2b2??anbn 则不等式为B2?AC
构造二次函数y?Ax2?2Bx?C
即f?x???a12?a22???an2?x2?2?a1b1?a2b2???anbn?x+?b12?b22???bn2? 当a1?a2???an?0或b1?b2???bn?0时不等式显然成立 当a1,a2,?,an至少有一个不等于0时，a12?a22???an2?0 而f?x???a1x?b1???a2x?b2?????anx?bn??0恒成立。
所以其??4?a1b1?a2b2???anbn?-4a1?a2???anb1?b2???bn222222222???2??0
得：a1?a2???anb1?b2???bn?222??222???ab?ab1122 ????ab2nn当且仅当f?x?有唯一零点时，??0以上不等式取等号。 此时有唯一的实数x使得aix?bi?0?i?1,2,?,n? 若x?0，则bi?0?i?1,2,?,n?，不等式成立
1若x?0，则ai??bi?kbi?i?1,2,?,n?
x综上当且仅当bi?0?i?1,2,?,n?或ai?kbi?i?1,2,?,n?时不等式取等号。 推测正确
3、定理：一般形式的柯西不等式： 设a1,a2,?an;b1,b2,?,bn?R
则?a12?a32???an2??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2??anbn?
2?n?22即?ak?bk???akbk? k?1k?1?k?1? 2 / 5
nn2
当且仅当bi?0?i?1,2,?,n?或ai?kbi?i?1,2,?,n?时不等式取等号。 4、思考：一般形式的三角形不等式及其证明
a?a???a?b?b???b?4、柯西不等式的应用：
例1、已知a1,a2,?an?R，求证：证明：套用柯西不等式
21222n21222n?a1?b1???a2?b2?????an?bn? 22212?a1?a2???an??a12?a22???an2 n?22?222221?1???1a?a???a?1?a?1?a???1?a ????2n12n??????1???n个??所以n?a12?a22???an2???a1?a2???an?
2即
12?a1?a2???an??a12?a22???an2原式得证。 n例2、若a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2?b2?c2?d2?ab?bc?cb?da 证明：配凑柯西不等式
?a2?b2?c2?d2??b2?c2?d2?a2???ab?bc?cb?da?
2因为a,b,c,d是不全相等，所以
2abcd???不能成立， bcda2所以?a2?b2?c2?d2???ab?bc?cb?da? 即a2?b2?c2?d2?ab?bc?cb?da
?abc??bca?练习讨论：若a,b,c,d是正数，求证：?????????9
?bca??abc?证明：
222222????????????????abcbcaabcbca??????????????????????????????????????????????a??b??c?? ?bca??abc???b??c??a?????????1?1?1??9例3、已知x?2y?3z?1,求x2?y2?z2的最小值。 解：配凑柯西不等式得
2?x
2?y2?z2??12?22?32???x?2y?3z??1
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1 14xyz1113当且仅当??即x?,y?,z?时x2?y2?z2取最小值
1231414714所以x2?y2?z2?例4、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设截得的三段长分别为x,y,z，则x?y?z?m
1?x??y??z?则三个正方形的面积和为：S???????????x2?y2?z2?
?4??4??4?16因为，?x2?y2?z2??12?12?12???x?y?z??m2
2222当且仅当x?y?z?所以Smin答：
m时取等号 312m222??x?y?z?有最小值 1648选用：例5、已知a1,a2,?,an都是正实数，且a1?a2???an?1
an?12an2a12a221求证：??????
a1?a2a2?a3an?1?anan?a12证明：由柯西不等式得：
1左边=??a1?a2???a2?a3?????an?1?an???an?a1??? 2???a1?????a?a??12?1??2???a2?????a?a??232??a3?????a?a??342??an?1???????a?a??n?1n2??an?????a?a2??n22????2?? ???a1?a2??2?a2?a3?2????an?1?an2??2?an?a1??? ??2??a1?????a?a??12??a2?????a?a??232??a3?????a?a??342??an?1???????a?a??n?1n??an?????a?a2??n????2?? ?? 4 / 5
a11?????a1?a2?2??a1?a2????a2???a2?a3???a2?a3????a1???a1?a2???a1?a2?????????????????an?1???an?1?an??an?1?an??112?a1?a2???an?? ??an???an?a1???an?a1??
2所以原式得证
六、课后作业：P 41
21、2、3、4、5、6
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