1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
双基达标 限时20分钟
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是 ( )． A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A 解析 注意“∈”与“?”互为否定形式． 答案 B
2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是 ( )．
A．若A∪B＝B，则A∩B＝A
源:学.科.网][来B．若A∩B≠A，则A∪B≠B C．若A∪B≠B，则A∩B≠A D．若A∪B≠B，则A∩B＝A
解析 注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”． 答案 C
3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为 ( )． A．0 B．1 C．2 D．4
解析 原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若 lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆 否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1.”是真命题． 答案 D
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4．“若x、y全为零，则xy＝0”的否命题为__________．
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x、y全为零，则xy＝0”的否 命题为“若x、y不全为零，则xy≠0”． 答案 若x、y不全为零，则xy≠0
5．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有______个．
解析 原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否 命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等
腰三角形时，AB≠AC”为真命题． 答案 2
6．将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
解 原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零； 逆命题：若a的平方大于零，则a是正数； 否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零； 逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数．
综合提高（限时25分钟）
7．命题“若a>b，则ac>bc(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )． A．0 B．2 C．3 D．4
解析 原命题“若a>b，则ac>bc(a，b，c∈R)”为假命题，逆命题“若ac>bc，则
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a>b(a，b，c∈R)”为真命题，否命题“若a≤b，则ac2≤bc2，(a，b，c∈R)”为真命题，
逆否命题“若ac≤bc，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题． 答案 B
8．若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的 ( )．
A．原命题 B．逆命题
[来源:Z|xx|k.Com]22
C．否命题 D．逆否命题
解析 设命题p为“若k，则s”；则其否命题q是“若綈k，则綈s”；则命题q的逆 命题r是“若綈s，则綈k”，而p的逆命题为“若s，则k”，故r是p的逆命题的否命 题． 答案 C
9．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________．
解析 将命题“正数的绝对值等于它本身”改写为“若一个数是正数，则其绝对值等于 它本身”，所以逆命题是“若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数”，即“绝 对值等于它本身的数是正数”． 答案 绝对值等于它本身的数是正数
10．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则： (1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”； (2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”； (3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；其中所有正确叙述的序号是________．
解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不
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都是无理数”． 答案 (1)(2) 11．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x＋(a－1)x＋a≤0的解集为?； 命题乙：函数y＝(2a－a)为增函数． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙有且只有一个是真命题； 分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围． 解 甲为真时，Δ＝(a－1)－4a<0，
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即A＝?a?a>或a<－1?；
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??； a>1或a<－乙为真时，2a－a>1即B＝a?2???
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x(1)甲、乙至少有一个真命题时，应取A，B两集合的并集，这时的a的取值范围是
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?a?a>或a<－?.
2???3
[来源:学科网]1
(2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，
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1
－1≤a<－，所以甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为
2
??11??a?
2???3
12．(创新拓展)求证：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－
a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明 法一 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b) 法二 假设a＋b<0，则a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a) 这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾， 因此假设不成立，故a＋b≥0.