因式分解
一、因式分解的意义：
因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式
注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式；
②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。 例1．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．(x?1)(x?1)?x2?1 B．(a?b)(m?n)?(b?a)(n?m) C．ab?a?b?1?(a?1)(b?1) D．m?2m?3?m(m?2?23) m例2．在下面多项式中，能通过因式分解变形为?(3x?1)(x?2y)的是（ ）
A．3x2?6xy?x?2y B．3x2?6xy?x?2y C．x?2y?3x2?6xy D．x?2y?3x2?6xy 二、因式分解的方法 类型一、提公因式法 提公因式时应注意：
⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑：
①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。 例1．在下面因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y?5xy?y?y(x2?5x) B．a(a?b?c)?b(c?a?b)?c(b?a?c)??(a?b?c)2 C．x(2?a)?x(a?2)?x(2?a)(x?1) D．2ab?4ab?ab?2ab(b?2b?1) 例2．把?8xy?6xy?2xy分解因式的结果为 。 例3．分解因式：?6(x?y)?18(y?x)?24(y?x).
说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于(x?y)与(y?x)的符号有下面的关系：
323432322322?x?y??(y?x),?22?(x?y)?(y?x), ?
33?(x?y)??(y?x)??????例4．解方程：(12x?6)(23x?18)?6(1?2x)(13?23x)?0
例5．不解方程组?类型二、公式法
?2m?n?3,23求：5n(2m?n)?2(n?2m)的值.
?4m?3n?1,221、利用平方差公式因式分解a?b??a?b??a?b? 1
注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；
③在用公式前，应将要分解的多项式表示成a?b的形式，并弄清a、b分别表示什么。 例如：分解因式：
（1）1?9x； （2）4a?169b； （3）(m?n)2?4(m?n)2
2、利用完全平方公式因式分解a2?2ab?b2??a?b? 222222注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成
a2?2ab?b2?(a?b)2公式原型，弄清a、b分别表示的量。
典型例题：
例1 用平方差公式分解因式：
22（1）?9x?(x?y)； （2）m?3n
1322说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 例2 分解因式：
（1）ab?ab； （2）a4(m?n)?b4(m?n).
说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式. 例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？
22（1）a?6a?9； （2）x?8x?9； （3）4x?12x?9； （4）?12xy?x?36y.
2225说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点. 例4 把下列各式分解因式：
22⑴ ?x?4x?4； ⑵ 42xy?49x?9y ⑶ ?m?4n?4mn
222说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.
例5 分解因式：
⑴ 3ax?6axy?3ay. ⑵ 24ab?6(a?b)
说明：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.
⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.
例6 分解因式：
22⑴ (m?2n)?6(2n?m)(m?n)?9(m?n)； ⑵ a?8ab?16b；
423642242222222222 ⑶ (m?2m)?2(m?2m)?1. ⑷ a?14ab?49b
说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方
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法，要真正理解，学会运用.
例7 若x2?2(a?4)x?25是完全平方式，求a的值.
说明：根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解.
例8 已知a?b?2，求
121a?ab?b2的值. 22 说明：将所求的代数式变形，使之成为a?b的表达式，然后整体代入求值.
例9 已知x?y?1，xy?2，求x3y?2x2y2?xy3的值.
说明：这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式 分解，使之转化为关于xy与x?y的式子，再整体代入求值.
例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.
说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.
例11 已知x和y满足方程组?
类型三、分组分解法
1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。
2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的）。 3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：
①组内提公因式或运用公式； ②组间提公因式或运用公式。
分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一， 且灵活多变.
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例如：⑴am+an+bm+bn； ⑵x-y+2x+1. 例1 选择题：对2m?mp?np?2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）
（A）(2m?2n?np)?mp（B）(2m?np)?(2n?mp) （C）(2m?2n)?(mp?np)（D）(2m?2n?mp)?np 说明：本组题目用来判断分组是否适当.
例2 因式分解：
2222 （1）ax?ay?bx?by； （2）mx?mx?n?nx
2?3x?2y?4，求代数式9x2?4y2的值。
?6x?4y?3说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；
（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；
（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内每项要变号； 例3 分解因式：
22（1）1?x?4xy?4y； （2）x?a?2ab?b； ⑶ a?4b?a?2b
22222说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。 例4 分解因式：
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⑴ 5x?15x?x?3 ⑵ 7x2?3y?xy?21x
说明：根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。
例5 把下列各式分解因式：
（1）xy?xz?y2?2yz?z2；（2）a?b?c?2bc?2a?1；（3）x2?4xy?4y2?2x?4y?1. 说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有 了一定的针对性，省时提速.
例6 分解因式：
（1）x(x?1)(x?2)?6； （2）ab(x2?1)?x(a2?b2)
说明：本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去 括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。
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类型四、关于x+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解（十字相乘法）
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事实上：x+(p+q)x+pq =x+px+qx+pq =(x+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q).
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所以：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
例1 分解因式：
⑴ a?5a?6； ⑵ m?3m?10. ⑶ x?x?2； ⑷ x?2x?15. 说明：本题属于x2?(p?q)x?pq型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.
例2 分解因式：
（1）(a?b)?5(a?b)?4； （2）p?7pq?12q. 例3 分解因式：
22⑴ p?5pq?6q?p?3q； ⑵ a?4b?a?2b?4bc?c?c
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