1．4 函数的单调性与最值
一、选择题 1．(2018·宁夏月考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log1x B．y＝2x－1
21
C．y＝x－2 D．y＝－x3
2
解析：观察四个选项，在(－1,1)内单调递增的只有函数y＝2x－1且其在(－1,1)内也有零点．故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )
3???3?
???A.－∞，2 B.2，＋∞? ????
3???3?
C.?－1，2? D.?2，4? ????
3??
??x－解析：函数f(x)的定义域是(－1, 4)，u(x)＝－x＋3x＋4＝－2??
?3?252
＋4的减区间为?2，4?，
??
?3??∵e＞1，∴函数f(x)的单调减区间为2，4?. ??
2
答案：D
3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有惟一的实根
解析：∵f(a)·f(b)＜0且f(x)在[a，b]上单调，∴由数形结合，可以看出，必有惟一的实数x0，使f(x0)＝0成立． 答案：D 4．函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是( )
1???A.0，2? ??
?1?B．(－∞，0)∪?2，＋∞?
?
?
C．[a，1]
D．[a，a＋1]
解析：y＝logax(0＜a＜1)为减函数，根据复合函数的单调性及图
1
象知，当0≤logax≤2，即a≤x≤1时，g(x)为减函数，故其单调减区间为[a，1]．
答案：C
???a－2?x－1，x≤1，
5．已知函数f(x)＝?若f(x)在(－∞，＋∞)
?logax，x＞1.?
上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(2,3] D．(2，＋∞)
解析：要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．
若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.
若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.
另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.
答案：C 6．已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
解析：因为f(x)在[－1,0]上单调递增，f(x)的图象关于直线x＝0
对称，所以f(x)在[0,1]上单调递减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1,2]上单调递增．由对称性f(3)＝f(1)＜f(2)＜f(2)，即a＜b＜c.
答案：D 二、填空题
7．已知y＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m－1)＜f(1－2m)，则m的取值范围是______．
解析：依题意，原不等式等价于 －2＜m－1＜2??
?－2＜1－2m＜2??m－1＜1－2m
?12?答案：?－2，3?
??
?－1＜m＜3
?－1＜m＜3??22
2??m＜3
12
?－2＜m＜3.
8．已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则－f(x)为增函数；
1
②若f(x)为增函数，则函数g(x)＝在其定义域内为减函数；③若f(x)
f?x?
与g(x)均为(a，b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间(a，b)上的增函数；
f?x?
④若f(x)与g(x)在(a，b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则
g?x?
在(a，b)上是递增函数．其中正确命题的序号是__________．
解析：①正确；②不正确，可用y＝x(x≠0)说明，若f(x)恒大于零(或若f(x)恒小于零)，则命题②成立；
1
③不正确，可用y＝x(x＞0)与y＝－x(x＞0)说明；
④不正确，可用y＝x(x＞0)与y＝－x(x＞0)说明． 答案：①
2??－x＋4x－10 ?x≤2?
9．已知函数f(x)＝?若f(6－a2)＞f(5a)，则
?log?x－1?－6 ?x＞2??3
实数a的取值范围是__________．
解析：当x≤2时，f1(x)＝－x2＋4x－10是单调递增函数；当x＞2时，f2(x)＝log3(x－1)－6也是单调递增函数，且f1(2)＝－22＋4×2－10＝－6，f2(2)＝log3(2－1)－6＝－6，即f1(2)＝f2(2)，因此f(x)在R
上单调递增，又因为f(6－a2)＞f(5a)，所以6－a2＞5a，解得－6＜a＜1.
答案：－6＜a＜1 三、解答题
a
10．函数f(x)＝2x－x的定义域为(0,1](a为实数)．
(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围； (3)求函数y＝f(x)在(0,1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．
1
解析：(1)a＝－1时，f(x)＝2x＋x，因为x∈(0,1]，所以
112
f(x)≥22x·＝22，当且仅当2x＝，即x＝xx2时，等号成立．所以函数y＝f(x)的值域为[22，＋∞)．
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈(0,1]且x1
＜x2都有f(x1)＞f(x2)成立，
a???即(x1－x2)2＋xx?＞0，只要a＜－2x1x2即可． ?12?
由x1，x2∈(0,1]，故－2x1x2∈(－2,0)， 所以a≤－2.
故a的取值范围是(－∞，－2](或用导数来判断)．
(3)当a≥0时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
由(2)得当a≤－2时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
?
当－2＜a＜0时，函数y＝f(x)在??0，
?????
－2a??
?上单调递减，在2?
－2a
2时取得最小值
－2a??
，1?上单调递增，无最大值，当x＝2?
2－2a.
11．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．
?a?
x＞log1.5?－2b?；
??
?3?xa
当a＞0，b＜0时，?2?＜－2b，则
??
?a?
x＜log1.5?－2b?.
??
12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
2
且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－3. (1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解析：(1)证明：方法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又∵x＞0时，f(x)＜0， 而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数． 方法二：设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0， ∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在R上为减函数． (2)由(1)得f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.