高等数学a-2试卷答案
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4、计算三重积分
????x?2?y2?z2dxdydz，其中?为锥面z??x2?y2与球面
x2?y2?z2?4所围的立体．
例5. 计算三重积分????(x2?y2?z2)dxdydz,其中?为锥面z?x2?y2与球面x2?y2?z2?4所围立体.解:在球面坐标系下0?r?2x?rsin?cos?y?rsin?sin??:0???π4z?rcos?0???2πzr?2π4???????2π0(x2?y2?z2)dxdydzd??0π4sin?d??20r4drxOy32?π(2?2)5 5、线积分其中L为
dv?r2sin?drd?d??L?1P?x,y?dx?Q?x,y?dy??cosx?ydx??2ycosx?y2?L4?1?y??2?????dy，??摆线x?a?t?sint?,y?a?1?cost?上由点O?0,0?到点A?2?a,0?的有向弧段．
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6、利用斯托克斯公式计算积分
??zdx?2xdy?3ydz，其中?为平面x?y?z?1被三坐
标面所截三角形的整个边界，方向从z轴正向往下看为逆时针．
例1.利用斯托克斯公式计算积分??zdx?2xdy?3ydz其中?为平面x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整z个边界, 方向如图所示. 1解: 记三角形域为?, 取上侧,则??zdx?2xdy?3ydzdydzdzdxdxdy???x??y??zO11y???xDxyz2x3y???3dydz?dzdx?2dxdy?6?z?1?x2?y2，计算I?7、设?：夹的锐角． ??Dxydxdy＝3 利用对称性???z2cos?dS，其中?是?的外法线与z轴正向所例4. 设?:z?1?x2?y2,?是其外法线与z 轴正向?夹成的锐角, 计算I???z2cos?dS.解: I???z2cos?dS?z1n1y???z2dxdy??????Dxy(1?x2?y2)dxdy10x12π0d??(1?r2)rdr π?2 4
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三、试解下列各题（共20分，每题10分）
1、求二元函数u?x2?xy?y2在点P??1,1?处沿方向e?l15?2,1?的方向导数，并指
出函数u在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？函数u沿哪个方向减小得最快？沿着哪个方向函数u的值不变化？
例1. 求二元函数u?x2?xy?y2在点P（-1，1）处沿方向e1l?5(2,1)的方向导数，并指出u 在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着哪个方向u 的值不变化？解：?u(?1,1)?(?u?u?x,?y)(?1,1)?(2x?y,2y?x)(?1,1)?(?3,3)?u(?1,1)?l???u1?3(?1,1),el??5(?6?3)?5(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向量为12(?1,1)，方向导数的最大值为?u(?1,1)?32.(2)u 沿梯度的负向即12(1,?1)的方向减小的最快。(3) 下求使u 的变化率为零的方向。令el?(cos?,sin?)则：?u?l???u(?1,1),el???3cos??3sin?(?1,1)?32sin(????u??4)令?l?0得??4,??4，此时u 的值不变化。 5