目录
I 考查目标 ....................................................... 错误！未定义书签。 II 考试形式和试卷结构 ................................. 错误！未定义书签。 III 考查内容 ................................................... 错误！未定义书签。 IV. 题型示例及参考答案 ............................... 错误！未定义书签。
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全国硕士研究生入学统一考试
高等数学考试大纲
I 考查目标
目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读相关专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的材料成型专业人才。考试测试考生掌握一元函数基本概念、基本性质、基本理论的扎实程度，考查考生能熟练运用这些概念与理论分析解决现实生产中与函数有关数学问题的能力.
具体来说。要求考生：
掌握一元基本初等函数的定义、图像、导数公式、积分公式；会用极限、导数和积分工具和方法来研究一元函数局部有界性、保号性、保不等式性和整体有界性、单调性、凸凹性、最小值、最大值、区间上平均值等全局性质。同时也能所学导数和定积分知识来进行微分方程建模和求解。
II 考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间180分钟。 二、答题方式
闭卷、笔试。允许使用计算器，但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。 三、试卷内容与题型结构
填空(6个空 ，每空5分，共30分)
计算题(4小题，每题10分， 共40分) 证明题(4小题，每题10分， 共40分) 综合应用题(40分)
假如每题分数有变化，变化范围亦不大。
III 考查内容
1. 集合的概念、运算、邻域的定义；函数的概念、图形、表示法；基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数; 复合函数的概念; 初等函数; 双曲函数和反双曲函数的概念; 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性、函数极限（数列极限）存在性、计算、无穷小阶的比较；函数连续性及闭区间连续函数性质。 2. 导数的定义、左右导数、导数的物理意义和几何意义；函数的可导性与连续性的关系；导数的四则运算法则、反函数的导数、复合函数的求导法则；高阶导数的概念、高阶导数的计算方法、莱布尼茨公式、隐函数求导法；对数求导法；参数方程表示的函数的导数；相关变化率；微分的定义; 函数可微的条件；基本初等函数的微分公式与微分运算法则；微分的几何意义、函数的线性化。
3. 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；洛必达法则、泰勒公式 函数的单调性、曲线的凹凸性、函数的极值、函数图形的描绘；弧微分的概念、微分三角形、曲率及其计算公式、曲率圆的概念；求近似实根二分法和切线法(牛顿法)。
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4. 原函数的概念、不定积分的概念、不定积分的性质；基本积分表；直接积分法：第一换元积分法(凑微分法)；常用凑微分公式；第二换元法；分部积分法；有理函数的积分；可化为有理函数的积分：1．三角函数有理式的积分；2．简单无理函数的积分。
5. 定积分的概念、定积分的近似计算；定积分加法法则、数乘法则、不等式性质、定积分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式；积分上限的函数及其导数；定积分的换元法积分法和分部积分法；无穷限的广义积分、无界函数的广义积分；无穷限广义积分的审敛法、无界函数的广义积分审敛法、?函数定义及其性质。
6. 定积分的微元法、平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线弧长的概念、平面曲线的弧长的计算、变力沿直线所作的功、水压力、引力。
7. 常微分方程的概念、方程的阶数、线性微分方程、非线性微分方程；微分方程的解（通
解、特解）; 微分方程的积分曲线；可分离变量的微分方程、分离变量法、齐次方程；一阶线性微分方程、常数变易法、伯努利方程；可降阶的二阶微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程及其解法；二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉方程；常系数线性微分方程组。
IV. 题型示例及参考答案
一. 填空题（每题5分，共30分） 1. 函数f(x)?lg(3?x)2的定义域为_____________. ?5?4x?xsinx2. 由方程xy所确定的函数y?f(x)在点M(1,1)处的切线方程________. ?lny?1?1?etanx, x?0?3. 设函数f(x)??arcsin(x/2)在x?0处连续，则a?_______.
?ae2x, x?0?4. 定积分5.
2(|x|?sinx)xdx=__________. ??11???0x3e?xdx?_______.
d?6. ?dx??x312?etdt?=____________.
?二.计算题(每小题10分，共40分)
22ln(1?x?x)?ln(1?x?x).1. 求 lim
x?0secx?cosx3(x?1)x?1(x?1), 求 y?. 2. 设y?(x?4)2ex?2x?(x?y)ln(x?y)(x)的二阶导数. 3. 求由下列方程y所确定的函数y?y.
4. 已知f(x)的一个原函数是e?x, 求xf?(x)dx.
2? 3
三.证明题(每题10分,共40分)
???1. 证明: 函数y?21?0. x?x满足关系式yy
2. 证明方程
23111 ???0x?1x?2x?3x?ln(1?x)?x.1?x
有分别包含于(1, 2), (2, 3) 内的两个实根. 3. 证明当x?0时,
4. 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) (2)
??/20f(sinx)dx????/20f(cosx)dx;
??0xf(sinx)dx?2??0f(sinx)dx, 由此计算
??0xsinxdx.21?cosx
四. 综合应用题(每题10分,共40分)
1. 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
?的水槽, 问2. 河水以8米3/秒的体流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为120水深20米时, 水面每小时上升几米?
水槽横截面图
3. 在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？
??4. 按照以下步骤作出函数f的图形. x?x?4x?1043??x?; (1) 求f??x?和f???x?的零点; (2) 分别求f??x?和f?(3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点;
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(4) 作出函数f??x?x4?4x3?10的图形.
参考答案:
一、填空题
1. Df?{x|?x?3,x?3,x?0}?[?1,0}?(0,3). 2. y?1??12(x?1)，即x?2y?3?0. 3. 2 4.
12. 5. 6. 6. 3x2ex6?
二、计算题
21. 解 先用对数性质化简分子，得原式?limln(1?x?x4)?cosx,x?0secx
因为当x?0时，有ln(1?x2?x4)~x2?x4, 1?cos2xsin2xx2secx?cosxcosx??x4?2cosx~x.所以原式?limx?0x2?1.2. 解 等式两边取对数得
lny?ln(x?1)?13ln(x?1)?2ln(x?4)?x, 上式两边对x求导得
y'y?1x?1?13(x?1)?2x?4?1, ?y'?(x?1)3x?1?1(x?4)2ex??x?1?13(x?1)?2x?4?1??.? 3. 解 ?y'?2?(1?y')ln(x?y)?(x?y)1?y'x?y,
?y'?1?12?ln(x?y) 5